Ecuaciones Diferenciales

6 de diciembre

Teorema de existencia y unicidad

◎ Las funciones p, q y f son continuas en el intervalo abierto Ι que contiene el punto a. Entonces, dados cualesquiera dos números 𝑏0 y 𝑏1, la ecuación:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

𝑦´´ + 𝑝

𝑦´ + 𝑞

𝑦 = 𝑓

[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]◎        tiene una solución única (esto es, una y solamente una) en el intervalo entero Ι que satisface las condiciones iniciales

𝑦        = 𝑏0        𝑦´        = 𝑏1[pic 9][pic 10]

[pic 11]

◎        La ecuación y las condiciones en constituyen un[pic 12]

problema de valor inicial de segundo orden.

◎                El teorema nos dice que un problema de valor inicial como ése tiene una solución única en todo

el intervalo Ι , donde los coeficientes en la

ecuación son funciones continuas.

[pic 13]

◎ Mientras que una ecuación diferencial de primer orden dy/dx = F(x, y) normalmente admite una sola curva solución y = y(x) que pasa a través del punto inicial dado (a, b), el teorema implica que la ecuación de segundo orden en la ecuación tiene una infinidad de curvas solución que pasan a través del punto (a, 𝑏0) digamos, una para cada valor (número real) de la pendiente inicial y´(a)=𝑏1. Esto es, en lugar de que sólo haya una línea tangente a la curva solución de la ecuación en el punto (a, 𝑏0), toda línea recta no vertical que pasa por el punto (a, 𝑏0) es tangente a alguna curva solución en la ecuación.[pic 14]

Wronskiano

◎        Supóngase que 𝑦1 y 𝑦2 son dos soluciones de la ecuación lineal de segundo orden homogénea[pic 15][pic 16][pic 17]

𝑦´´ + 𝑝

𝑦´ + 𝑞

𝑦 = 0

[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]en un intervalo abierto 𝐼 en el cual p y q son continuas.

◎        Si 𝑦1 y 𝑦2 son linealmente dependientes, entonces

W(𝑦1, 𝑦2) = 0 en 𝐼 .

◎        Si 𝑦1 y 𝑦2son linealmente independientes, entonces

W(𝑦1, 𝑦2)≠ 0 en cada punto de 𝐼.

[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Teorema fundamental del algebra

◎        Una función polinomial de grado n tiene exactamente n ceros en el conjunto de números complejos, contando ceros repetidos.[pic 26]

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