Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales tienen un amplio margen de aplicación en diversos ámbitos de la vida humana. Cuando se pretende describir un fenómeno físico, químico, sociológico económico, etc, a través de un modelo matemático; es común encontrarse con relaciones que describen el cambio entre variables. Es en ese momento cuando el sistema modelado involucra derivadas, es decir, se traslada el modelo matemático al campo de las ecuaciones diferenciales, con la finalidad de, a través de su solución y del propio modelo, describir de la manera más realista posible el fenómeno en cuestión.

Una ecuación diferencial es una expresión matemática que relaciona las derivadas de una o varias variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Un ejemplo simple de una E.D puede ser: dy/dx=xy

Donde x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente.

Existen dos tipos de ecuaciones diferenciales: Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), las cuales contienen derivadas ordinarias de una o varias variables dependientes con respecto a una sola variable independiente y las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), que, a diferencia de las EDO, representan las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

Ambas, tanto EDO como EDP pueden ser clasificadas por su orden, el cual se determina por el orden de la derivada más alta presente en la ecuación.

Una solución de una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden será una función φ que posea al menos n derivadas en el intervalo de solución y que al ser sustituida en una EDO, reduzca esta ecuación a una identidad, entonces se dice que φ es una solución de la ecuación sobre el intervalo. La solución de una EDO puede ser tanto explícita como implícita.

Con lo expuesto anteriormente, podemos deducir que una ecuación diferencial de primer orden es aquella donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente.

Una EDO que posee la forma dy/dx=g(x), cuya solución es y=G(x) donde la función G(x) es la antiderivada de g(x), se dice que es de variables separables, es decir, una ecuación de variables separables es aquella donde es posible separar la variable dependiente de un lado de la ecuación y la variable independiente del otro para solucionar integrando en ambos lados de la igualdad.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales son ecuaciones en las cuales sus derivadas poseen una máxima potencia de 1 y no existen términos en donde haya productos entre la función desconocida y/o sus derivadas. Una ecuación lineal en la variable dependiente tiene la forma dy/dx+P(x)y=f(x)

Cuando f(x) es cero, se dice que la ecuación lineal es homogénea, de lo contrario, es no homogénea.

La familia de soluciones de un parámetro de la ecuación anterior tiene la forma:

Ce^(-∫▒P(x)dx)+Ce^(-∫▒P(x)dx)

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