Taller ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES, SU ORIGEN Y EVOLUCIÓN A TRAVÉS DE LOS AÑOS.

Al pasar de los años, se ha reconocido la importancia de las ecuaciones diferenciales en distintas áreas y aplicaciones, por lo anterior es necesario saber y entender cómo y de donde surgen. En este texto se verá breve y concisamente su origen.

Todo comienza en el siglo XVII cuando ya el cálculo infinitesimal estaba siendo descubierto por distintos científicos (Seki Kowa, Bonaventura Calaveri, John Wallis, entre otros) y consolidado por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, aunque estos últimos se vieron involucrados en una polémica de plagio se les atribuye a ambos el cálculo infinitesimal. En esta época distintos físicos intentaban resolver fenómenos por medio del cálculo encontrándose así con una nueva rama matemática, sin saberlo, las ecuaciones diferenciales.

En este punto histórico nos encontramos con dos teorías respecto a la creación de las ecuaciones diferenciales, donde también se ven involucrados Newton y Leibniz. Por un lado, se dice que tuvieron su origen cuando Newton observo que dny/dx n = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n – 1, lo que significaría que y depende de n constantes arbitrarias, aun así esto fue demostrado hasta el siglo XIX. Además se le atribuye la célebre frase matemática “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las fluxiones y viceversa” en otras palabras “dada una relación entre dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre las cantidades (o fluentes)” con la cual se dice que se reafirma que fue él quien origino las ecuaciones.

Por otro lado, varios historiadores dicen que el inicio de las ecuaciones diferenciales está dado por Leibniz quien en 1675 escribió la siguiente ecuación _________, aunque no resolvió una ecuación diferencial sino más bien creo el signo de la integral. Sin embargo esto se puede atribuir a que según hechos históricos Newton le comunico a Leibniz mediante un anagrama su famosa frase “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las fluxiones y viceversa”.

Continuando en la revisión bibliográfica de los hechos encontramos que la primera vez que se usó el término “ecuaciones diferenciales” fue en 1679 por Leibniz para hablar de la relación entre las diferenciales dx y dy y las variables x y y, además en 1693 dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triángulo característico. Es importante recalcar que en esta época los problemas eran abordados con una visión geométrico-euclidiana, tanto Newton como Bernoulli realizan sus afirmaciones matemáticas en términos geométricos.

[pic 1]

Triángulo característico

Jacques Bernoulli en 1690 plantea el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, la cual es llamada “catenaria” (del latín cadena) por Leibniz. Para este problema se publican varias soluciones dadas por Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli, con distintos enfoques, se evidencia que este problema se puede solucionar a partir de las leyes de Newton o como la curva que minimiza una cierta magnitud física, lo que conlleva a descubrir que no solo sucede con este, sino que muchos problemas físicos poseen esta característica. Así, Hamilton a mediados del siglo XIX reformula las leyes físicas por medio de funciones minimizantes.

En 1691 Leibniz descubrió la técnica de separación de variables, resolviendo la ecuación _____ y en el mismo año redujo la ecuación homogénea ___ a una separable de primer orden. Es en este punto de la historia donde vuelve a entrar Newton el cual da la primera clasificación de las ecuaciones diferenciales de primer orden, dividiéndolas en 3 tipos

1. El primer tipo está compuesto de las ecuaciones en las que se relacionan dos fluxiones y un fluyente, escrito en términos actuales ____
2. El segundo tipo habla de las ecuaciones que relacionan dos fluxiones y dos fluyentes ___
3. El tercer tipo abarca las ecuaciones que contienen más de dos fluxiones, las que en la actualidad conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Para finales del siglo XIX los hermanos James Bernoulli y Johan Bernoulli crean términos como “integrar una ecuación diferencial” y terminan de establecer el método de “separación de variables en las ecuaciones diferenciales”. El hermano Johan Bernoulli en 1692 al notar que existían ecuaciones en las cuales no se podía utilizar la separación de variables encuentra otro método para resolverlas el cual es llamado “multiplicación por un factor integrante”, aun así en este punto los métodos eran incompletos.

...