Ecuaciones Diferenciales

Instituto Politécnico Nacional[pic 1][pic 2]

Escuela Superior De Física Y Matemáticas

Departamento de Matemáticas

Ecuaciones Diferenciales I

Reporte

Profesor Lee Guzmán Erick

• Martínez Romero Tsasnai
• Martínez Vázquez Rodrigo

3MV1

Semestre 20-2

Capítulo 4

Daniel Bernoulli nació en 1700 en Groningen en los Países Bajos. Su padre Johann Bernoulli y su tío Jakob Bernoulli eran ya famosos matemáticos. En 1705 Johann se mudó a Basilea en Suiza, donde tomó la de vacante de maestro por la muerte de su tío. Su padre no quería que su hijo estudiar matemáticas Entonces recurrió a la medicina. En 1721 se mudó a Venecia y comenzó a centrarse en las matemáticas.

Alrededor de 1753 se interesó al mismo tiempo que Euler y d 'Alembert en el problema de cuerdas vibratorias, que causó una importante controversia matemática.

En 1760 presentó a la Academia de Ciencias de París su trabajo titulado Un intento en un nuevo análisis de la mortalidad causada por la viruela y de las ventajas de inoculación para prevenirlo. La pregunta era si la introducción voluntaria de una cantidad pequeña de viruela menos virulenta en el cuerpo para protegerlo contra infecciones.

Voltaire, que sobrevivido de viruela en y que había vivido varios años en el exilio en Inglaterra, abogó por la inoculación en sus Cartas filosóficas. El científico francés La Condamine, que también había sobrevivido de la viruela, abogó por Inoculación en la Academia de Ciencias de París en 1754. Antes de morir en Basilea en 1759, Maupertuis alentó a Daniel Bernoulli a estudiar el problema de la inoculación desde un punto de vista matemático, el desafío fue encontrar una manera de comparar el beneficio a largo plazo de la inoculación con el riesgo inmediato de morir.

Entonces, D. Bernoulli plantea dos principios: el primero es que “tanto que no se haya tenido la viruela, se corre continuamente el mismo riesgo de tenerla, el segundo es “que el riesgo de morir de viruela cuando se es atacado, (es el mismo en toda edad.

Con estas premisas se propone construir una fórmula que, bajo preposiciones razonables, proporcione el número “s” de personas que no han tenido la viruela, de una edad “x”, en función de dicha edad y del número de supervivientes.

Daniel Bernoulli hizo la siguiente simplificación

las personas infectadas con viruela por primera vez mueren con una probabilidad p (independiente de edad) y sobrevivir con una probabilidad de 1− p, todos tienen una probabilidad q de infectarse cada año, las personas que sobreviven de la viruela están protegidas contra nuevas infecciones por el resto de su vida (han sido inmunizados).

La solución de este tipo de ecuaciones se conocía desde hace varias décadas gracias a la obra de Jakob Bernoulli, tío de Daniel.

Para aplicar su teoría, Bernoulli usó la tabla de vida de Halley. Bernoulli eligió la probabilidad de morir de viruela p = 1/8 = 12.5%, que está de acuerdo con las observaciones de su tiempo.

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