Ecuaciones diferenciales

Un automóvil corre hacia el norte a una velocidad de ;[pic 1]

otro automóvil corre hacia el oeste a una velocidad de  . Si a las 4 horas de la madrugada el[pic 2]

segundo tren cruza la ruta del primero en el punto por el que este había pasado dos horas

antes, (a) construir un modelo matemático que defina estos movimientos, (b) identificar el

tipo de modelo hallado (c) resolver el modelo matemático encontrado en el inciso b.[pic 3]

                                      N                                                               [pic 5][pic 4]

                                                 [pic 6]

                                     W   [pic 8][pic 7]

                                                     [pic 9]

                                                [pic 11][pic 12][pic 13][pic 10]

[pic 14]

                               [pic 15]

                                   
                                            [pic 17][pic 18][pic 19][pic 16]

           V           [pic 20]

                                     P               [pic 21]

¿

En base a esta información podemos deducir que se forma un triángulo rectángulo.

[pic 22]

        Y                                                             v

                                                                x

por el rectángulo y por el teorema de Pitágoras se obtiene lo siguiente: [pic 23]

o de igual manera [pic 24]

ahora se deriva de ambos lados de esta misma,  , y como ya sabemos, v es la velocidad relativa que hay entre los autos A1 y A2por lo tanto v→R ; v=C= constante  por lo tanto, [pic 25][pic 26]

[pic 27]

Sustituimos v=0sobre la ecuación, y obtenemos lo siguiente , es decir que ,a esta ecuación la multiplicamos por la diferencia de dt,[pic 28][pic 29]

[pic 30]

Realizamos el producto y el resultado es el siguiente:

[pic 31]

A qui puntualizamos el modelo matemático

[pic 32]

 IDENTIFICACION DEL MODELO MATEMATICO

El modelo matemático es una ecuación diferencial de primer orden, primer grado, lineal y variables separables, ahora si lo podremos resolver con el siguiente proceso

[pic 33]

Sustituimos

[pic 34]

Obtenemos que

[pic 35]

para resolver las integrales, podemos darnos cuenta que las funciones de las diferenciales que se van a integrar, son polinomiales, por esto se integran directamente en la formula,  agregamos el segundo lado,  sobre  e , y obtenemos  esto no quiere decir que es la resolución del modelo matemático, a esto lo multiplicamos por dos a la ecuación .[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

[pic 42]

De esta se desprende el siguiente resultado

[pic 43]

[pic 44]

solución general explicita [pic 45]

...