Ecuación Caracteristica Con Raices Imaginarias

TEMA 7. ECUACIÓN LINEAL HOMOGENEA DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

1.- ECUACIÓN CARACTERÍSTICA.

Sea la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden : y’’ + p y’ + q y = 0 con p,q

constantes, o mejor a0 y’’ + a1 y’ + a2 y = 0 (1) con a0  0, a1, a2 constantes reales.

Por ser los coeficientes funciones continuas en (-, +) , el teorema de existencia y unicidad de solución garantiza que todo problema de valor inicial tiene solución única, válida en (-, +).

Se trata de encontrar un método de conseguir dos soluciones linealmente independientes, para formar la solución general.

Parece lógico buscar como soluciones de (1), funciones f(x) cuya derivada sea del mismo tipo que f(x), salvo factor constante.

Por ello se ensayan soluciones de la forma: y = erx . Sustituyendo en (1), se obtiene :

a0 r2 erx + a1 r erx + a2 erx  0 en , y como erx no es nunca nulo resulta :

a0 r2 + a1 r + a2 = 0 (2)

Se ha visto por tanto que y = erx es solución de (1), si y solo si r satisface a la ecuación algebraica (2), que se denomina ecuación característica ó ecuación auxiliar, asociada a la ecuación diferencial (1).

El polinomio P( r ) = a0 r2 +a1 r +a2 se llama el polinomio característico de (1).

2.-OBTENCION DE UN CONJUNTO FUNDAMENTAL EN LOS DISTINTOS CASOS.

La ecuación característica (2) es de 2º grado. Por tanto, sus raíces podrán ser : dos reales y distintas, una real con multiplicidad dos, o dos raíces complejas conjugadas.

2.1- CASO DE DOS RAÍCES REALES DISTINTAS

“Si la ecuación característica (2) tiene dos raíces reales y distintas r1 y r2, entonces es un conjunto fundamental de soluciones de (1). Por tanto, la solución general de (1), válida en (-, +), es: donde C1 y C2 son constantes arbitrarias”.

En efecto: las y1 e y2 son linealmente independientes.

Su wronskiano es : W[y1(x), y2(x)] = = (r2 – r1) x.

Ejemplo 1:

Solución general de la ecuación diferencial : y’’ + 2y’ –3y = 0

La ecuación característica es : r2 + 2r –3 = 0. Es decir (r-1) (r+3) = 0, cuyas raíces son r1 = 1, r2 = -3.

Luego {ex, e-3x} es un conjunto fundamental de soluciones.

Y la solución general será: y = C1 ex +C2 e-3x.

2.2.- CASO DE UNA RAIZ DOBLE

“Si la ecuación característica (2) tiene una raíz doble r = r1 , entonces un conjunto fundamental de soluciones de (1) es Por tanto, la solución general de (1) valida en todo  es :

y = [ C1 + C2 x ] con C1 y C2 constantes arbitrarias”.

En efecto :

La solución es y1 = . Para hallar la segunda solución, puede usarse el método de reducción de orden, a partir del cambio de variable dependiente y = u(x).

Es : y = u , y’ = r1u + u’ , y’’=  r12 u + 2r1u’+ u’’

Sustituyendo en la ecuación (1):

aou’’ + (2r1 ao + a1) u’ + (ao r12 + a1r1 + a2) u = 0 (*)

Por ser r1 raíz de la ecuación característica, es a0r12 + a1r1 + a2 = 0. Y por ser r1 raíz doble, es . Luego 2r1a0 + a1 = 0. Por tanto, la ecuación (*) toma la forma: u’’= 0.

Una solución particular de ésta es u1 = x. luego es solución particular de la (1) la función y2 = x .

Esta solución es linealmente independiente de la primera , pues o bien :

Por tanto {y1 = , y2 = x } es un conjunto fundamental de soluciones.

Nota :

Puede también comprobarse directamente que es solución, de la forma siguiente:

Si r1 es raíz doble de (2), resulta : P(r) = a0 r2 + a1r + a2 = a0(r-r1)2 y P’(r) = 2a0(r-r1).

Luego: P(r1) = P’(r1) = 0. Se verifica:

Lerx = erx a0 r2 + a1r + a2 = erx P(r). Luego: L  = 0.

Lxerx = L  = .

Luego: Lx  = xP(r1) + P’(r1) = 0.

Por tanto : y2 = x es solución de (1).

Ejemplo 2:

Solución general de la ecuación diferencial y’’ - 6y’ +9y = 0.

La ecuación característica es: r2 - 6r + 9 = 0 , es decir (r-3)2 = 0 , que tiene a r1 = 3 como raíz doble.

Luego {e3x, xe3x} es un conjunto fundamental.

Por tanto la solución general es : y = e3x C1 + C2 x

2.3.- CASO DE RAICES COMPLEJAS

Nota : ¿Que. significa la exponencial e(x+iy) en el campo complejo?.

Para que se generalice al campo complejo la ley de exponentes ea eb = e(a+b) de la exponenciación real, habrá de ser: e(x+iy) = ex eiy.

¿Que significa eiy ?:

Si se supone que el desarrollo en serie de Taylor en torno a y = 0 es formalmente igual para complejos que para reales resulta :

eiy=1+ = 1+ =

Lo anterior justifica la definición :

e(x+iy) = ex (cosy + i seny) ( Fórmula de Euler )

Se verifica:

“Si la ecuación característica tiene raíces complejas, y estas son conjugadas    i . Entonces un conjunto fundamental de soluciones de (1), en todo  es :

{y1 = ex cos x, y2 = ex sen x}.

Por tanto la solución general de (1) es : y = exC1 cos x + C2 sen x ,

siendo

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