Raices De Ecuaciones

Preámbulo

Muchas veces al desarrollar un tema en clase, no se consideran ciertos aspectos que son importantes para el estudiante, como la parte histórica detrás de un concepto o teorema, o la explicación de cómo se aplican estos conceptos en nuestra realidad. La Matemática es una ciencia que no está desligada del mundo, todo lo contrario, si se observa atentamente el paisaje que le rodea, encontrará la aplicación de algún concepto matemático.

Por esta razón, el papel del estudiante es ahondar en los temas desarrollados y relacionarlos con su entorno inmediato.

Cuando se encuentra ante una situación problemática, a veces se plantean ecuaciones, y es el Álgebra que en uno de sus aspectos más elementales, brinda el conocimiento necesario para resolverla. No hay que olvidar, además, que los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Por ejemplo, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos que datan del año 3000 AC.

Los babilonios y egipcios fueron los más entusiastas cultivadores del Álgebra. A partir de ellos, los griegos, y luego los árabes, elaboraron los cimientos de la Matemática actual, así como el contexto de todos los axiomas y teoremas que se fueron desarrollando.

El presente libro está centrado en mostrar cómo las culturas milenarias abordaron el tema de resolución de ecuaciones y cómo en la actualidad, de algún modo muy sutil, se están relacionando problemas ancestrales con situaciones reales y actuales.

Resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones son problemas que se plantearon en la antigüedad y que, salvo las diferencias en los actuales métodos más complicados de resolución, lograban. Determinar la solución adecuada a cada situación.

Ecuaciones de resolución

En la antigüedad, algunas culturas representaron los números mediante letras. Los griegos usaban su alfabeto para representar los números, al igual que la numeración romana.

En realidad, el Álgebra comienza cuando los matemáticos se empiezan a interesar por operaciones que se pueden realizar con cualquier número más que por los mismos números, lo que los llevó a generalizar un número cualquiera a través de una letra llamada variable.

Si bien en un principio no existían las variables, los problemas se plantearon mediante palabras, por lo que se le llamó Álgebra Retórica , y la variable era llamada cosa, de ahí que el Álgebra fuera conocida como “la regla de la cosa”. A partir del siglo XII los árabes introducen el Álgebra Simbólica, la cual asigna símbolos a la variable buscada en el problema.

Tras muchos milenios, las ecuaciones matemáticas de la forma ax+b=0 se resuelven actualmente por diversos métodos, incluso, mediante el uso de computadoras. Existe software que resuelven diversos tipos de ecuaciones.

Definición de Ecuación

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas.

Desarrollo del Concepto

En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.

En la ecuación: ax+b=c, a, b y c son coeficientes, x es la incógnita.

En la ecuación 5z-4=16, los coeficientes son los enteros 5, -4, y 16 y la incógnita es z.

Se llama raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.

Ejemplos:

Si voy a la panadería con $5000 y deseo comprar 3 panes de $1000 ¿qué vueltas recibiré? Si v representa el valor de las vueltas, éste tiene que cumplir:

5000=3*1000+v

En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v=2000 es la solución.

Un norteamericano llega a Neiva – Huila - Colombia y manifiesta que la temperatura ambiental es de 85° Farenheit ¿cuál es la temperatura ambiental en grados Celsius? Si C representa la temperatura en grados Celsius se cumple la relación:

, C es la incógnita y el valor C=265/9 es la solución.

En: , el valor x=-5/a es la solución.

En 4x^2–3x+2=2 los valores x=0 y x=3/4 son soluciones.

Clasificación de las ecuaciones con una incógnita:

Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita.

Así,

6x+34=5, Es una ecuación de primer grado.

8x^2+7x+45=3, Es una ecuación de segundo grado.

4x^3+35x^2–3x+2=7, Es una ecuación de tercer grado.

Raíces de ecuaciones: introducción

Constantemente, al plantear en términos matemáticos problemas de distintas áreas (economía, física, ingeniería, biología, etc.), aparece la siguiente cuestión: tratar de determinar los ceros de ciertas funciones, es decir valores para los cuales la función se anula.

Resolver una ecuación es encontrar el ó los valores de la incógnita que satisface la igualdad.

Por ejemplo la ecuación: 500=450+v, se satisface para v=50

Después de las funciones lineales, las funciones polinomiales (en 1 variable) son las más simples.

Estudiar los ceros (raíces) de funciones polinomiales tiene un gran interés por lo menos por las dos razones siguientes:

No se puede pretender poder resolver el problema para funciones más generales si no se logra resolverlo en este caso más sencillo.

La mayoría de veces es posible traducir de alguna manera el problema original de hallar ceros de una función cualquiera, al de calcular las raíces de ciertos polinomios (que “aproximan” a la función original).

Generalmente, para las aplicaciones, se trabaja con funciones reales, y se trata de encontrar ceros reales. Más aún, debido a la estructura de los números con los cuales trabajan las computadoras, las funciones suelen tener coeficientes racionales y los ceros que se calculan serán números racionales que aproximan suficientemente una verdadera solución al problema.

En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja.

Nótese los siguientes casos:

Pertinencia de la solución: Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño, x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación:

5x=24

La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N).

...