Ejercicios Probabilidad

Problemas de Probabilidad resueltos.

Problema 1 El profesor P´erez olvida poner su despertador 3 de cada 10 dias. Adem´as, ha comprobado

que uno de cada 10 dias en los que pone el despertador acaba no levandandose a tiempo de dar su

primera clase, mientras que 2 de cada 10 dias en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo a

dar su primera clase.

(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el profesor P´erez llegue a tiempo a dar su primera clase?

(c) Si un d´ıa no ha llegado a tiempo, ¿que probabilidad hay de que olvidase poner el despertador la

noche anterior?

Soluci´on: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos realizando. Este

consiste en tomar un d´ıa al azar en la vida del profesor P´erez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.

(a) Para un d´ıa al azar decimos que se ha dado el suceso:

O  cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T  cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, ¯O} como {T , ¯ T } forman un sistema completo de sucesos. A continuaci´on traducimos

en t´erminos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.

P(O) =

3

10, P( ¯ T |O) =

2

10,

P(¯O) =

7

10, P(T |¯O ) =

1

10.

(b) El suceso ”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que calculemos

P( ¯ T ). Puesto que {O, ¯O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la f´ormula de la probabilidad

total, de donde tenemos que:

P( ¯ T ) = P( ¯ T |O)P(O) + P( ¯ T |¯O)P(¯O).

En la expresi´on anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sin embargo

no conocemos directamente el valor de P( ¯ T |¯O). Para calcularlo utilizamos que P( ¯ T |¯O) = 1−P(T |¯O) =

1 − 1

10 = 9

10 . De esta forma, la expresi´on anterior se puede escribir como:

P( ¯ T ) =

2

10

3

10

+

9

10

7

10

=

69

100

= 0.69.

(c) Nos piden calcular la probabilidad del suceso O sabiendo que ha tenido lugar el suceso T , esto es,

P(O|T ). Como {O, ¯O} es un sistema completo de sucesos, podemos utilizar el Teorema de Bayes para

calcular P(O|T ). As´ı,

P(O|T ) = P(T |O)P(O)

P(T |¯O )P(¯O) + P(T |O)P(O) .

En la expresi´on anterior nos falta por conocer P(T|O). Utilizando que P(T |O) = 1−P( ¯ T |O) = 1− 2

10 =

8

10 , llegamos a que

P(O|T ) =

8

10

3

10

1

10

7

10

+

8

10

3

10

=

24

31  0.7742.



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Problema 2 Un banco local revisa su pol´ıtica de tarjetas de cr´edito, con el objetivo de cancelar algunas

de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado de

pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda. Adem´as, el banco ha comprobado que la probabilidad

de que un cliente normal se atrase en un pago es de 0.2. Naturalmente, la probabilidad de que un cliente

moroso se atrase en un pago es 1.

(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) Elegido un clienta al azar, ¿qu´e probabilidad hay de que el cliente se atrase en un pago mensual?

(c) Si un cliente se atrasa en un pago mensual, calcular la probabilidad de que el cliente acabe convirtiendose

en moroso.

(d) Al banco le gustar´ıa cancelar la l´ınea de cr´edito de un cliente si la probabilidad de que ´este acabe

convirtiendose en moroso es mayor de 0.25. De acuerdo con los resultados anteriores, ¿debe cancelar

una l´ınea si un cliente se atrasa en un pago?¿Por qu´e?

Soluci´on: Comenzamos identificando el experimento aleatorio. En este caso consiste en elegir al azar

a un cliente del banco que tenga tarjeta de cr´edito y preguntarnos por los siguientes sucesos.

(a) Para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso:

M cuando el cliente es moroso,

A  cuando el cliente se ha atrasado en un pago mensual.

Los conjuntos de sucesos {M,M¯ } y {A,A¯} son dos sistemas completos de sucesos. A continuacio´n reescribimos

los datos que nos proporciona el enunciado en t´erminos de probabilidades.

P(M) = 0.05,

P(A| ¯M) = 0.2, P(A|M) = 1.

(b) Es sencillo darse cuenta de que nos piden calcular P(A). Como {M,M¯ } es un sistema completo de

sucesos, aplicamos la f´ormula de la probabilidad total y tenemos

P(A) = P(A| ¯M)P( ¯M) + P(A|M)P(M).

De la f´ormula anterior, ´unicamente desconocemos P( ¯M), que podemos calcularlo mediante P( ¯M) =

1 − P(M) = 1 − 0.05 = 0.95. Por tanto:

P(A) = 0.2 × 0.95 + 1 × 0.06 = 0.24.

(c) Nos piden calcular la probabilidad de que el cliente se convierta en moroso (suceso M) sabiendo que

se ha atrasado en una mensualidad (suceso A); esto es P(M|A). Como {M,M¯ } es un sistema completo

de sucesos, aplicando la f´ormula de Bayes tenemos que

P(M|A) = P(A|M)P(M)

P(A| ¯M)P( ¯M) + P(A|M)P(M)

=

1 × 0.05

0.2 × 0.95 + 1 × 0.06  0.2083.

(d) De acuerdo con el resultado anterior, la probabilidad de que un cliente que se atrasa en un pago acabe

convirtiendose en moroso es 0.2083, que es menor que la probabilidad 0.25 exigida por el banco. Por lo

tanto, no deber´ıa de cancelarse la cuenta de un cliente que se atrase en un pago. 

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Problemas de Variable Aleatoria resueltos.

Problema 3 El gimnasio El primo de sumosol ha comprobado que el 20% de sus alumnos se dan

de baja durante el primer mes y el 80% restante permanecen todo el a˜no. Supongamos que este a˜no se

inscribieron 20 alumnos.

(a) Explica con brevedad qu´e es una variable aleatoria. Identifica la variable aleatoria del problema e

indica qu´e distribuci´on sigue.

(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que 2 o menos se den de baja?

(c) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente se den de baja 4 alumnos?

(d) ¿Cu´al es la probabilidad de que se den de baja m´as de 3 alumnos?

Al hacer la inscripci´on se realiza un ´unico pago anual de 600 euros. Cada alumno que permanece todo el

a˜no

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