EJERCICIOS PROBABILIDAD

SOLUCIONES

EJERCICIOS PROBABILIDAD

Ejercicio nº 1.-

En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene.

a Describe los sucesos:

A  "Obtener par" B  "Obtener impar"

C  "Obtener primo" D  "Obtener impar menor que 9"

escribiendo todos sus elementos.

b ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?

c ¿Cuál es el suceso A  B? ¿y C  D?

Solución:

a A  {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

B  {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

C  {2, 3, 5, 7, 11, 13}

D  {3, 5, 7}

b B  A'; D  C

c A  B  E Espacio muestral; C  D  D

Ejercicio nº 2.-

Sean A y B los sucesos tales que:

P[A]  0,4 P[A'  B]  0,4 P[A  B]  0,1

Calcula P[A  B] y P[B].

Solución:

• Calculamos en primer lugar P[B]:

P[B]  P[A'  B]  P[A  B] 0,4  0,1  0,5

• P[A  B]  P[A]  P[B]  P[A  B]  0,4  0,5  0,1  0,8

Ejercicio nº 3.-

Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:

P[A']  0,6 P[B]  0,3 P[A'  B']  0,9

a ¿Son independientes A y B?

b Calcula P[A' / B].

Solución:

a P[A'  B']  P[A  B '] 1  P[A  B]  0,9  P[A  B]  0,1

P[A']  1  P[A]  0,6  P[A]  0,4

Por tanto, A y B no son independientes.

b Como:

necesitamos calcular P[A'  B]:

P[A'  B]  P[B]  P[A  B]  0,3  0,1  0,2

Por tanto:

Ejercicio nº 4.-

Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el segundo elija el mismo número?

Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será:

Ejercicio nº 5.-

En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución:

Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:

Llamamos I  "Habla ingles", F  "Habla francés".

a Tenemos que hallar P[I  F]:

Ejercicio nº 6.-

Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.

a ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

b Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

Solución:

Hacemos un diagrama en árbol:

Ejercicio nº 7.-

De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a ¿Cuál es el espacio muestral?

b Describe los sucesos:

A  "Mayor que 6" B  "No obtener 6" C  "Menor que 6"

escribiendo todos sus elementos.

c Halla los sucesos A  B , A  B y B'  A'.

Solución:

a E  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

b A  { 7, 8, 9 } B  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

C  { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

Ejercicio nº 8.-

Sabiendo que:

P[A  B]  0,2 P[B']  0,7 P[A  B']  0,5

Calcula P[A  B] y P[A].

Solución:

P[A]  P[A  B']  P[A  B]  0,5  0,2  0,7

P[B]  1  P[B']  1  0,7  0,3

P[A  B]  P[A]  P[B]  P[A  B]  0,7  0,3  0,2  0,8

Ejercicio nº 9.-

De dos sucesos A y B sabemos que:

P[A']  0,48 P[A  B]  0,82 P[B]  0,42

a ¿Son A y B independientes?

b ¿Cuánto vale P[A / B]?

Solución:

a P[A']  1 P[A]  0,48  P[A]  0,52

P[A  B]  P[A]  P[B]  P[A  B]  0,82  0,52  0,42  P[A  B]

 P[A  B]  0,12

No son independientes.

Ejercicio nº 10.-

Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros.

c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.

Solución:

Ejercicio nº 11.-

Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas,

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