Ejercicios de cálculo

BLOQUE 1

7.- Se consideran las funciones reales de variable real:

=[pic 1][pic 2]

=[pic 3][pic 4]

1. Probar que f y son continúas en todo ℜ

[pic 5]

 es continua en todo su dominio de definición, ya que tanto  como sus límites por la derecha y por la izquierda, son iguales.[pic 6][pic 7]

[pic 8]

 es continua en todo su dominio de definición, ya que tanto  como sus límites por la derecha y por la izquierda, son iguales.[pic 9][pic 10]

1. ¿Está acotada  en el intervalo ?[pic 11][pic 12]

[pic 13]

Puntos de estudio:

[pic 14]

[pic 15]

 es continua en [pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

 es continua en [pic 20][pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

 es continua en [pic 24][pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

 es continua en [pic 28][pic 29]

Por el teorema de acotabilidad en un intervalo,  está acotada en  al ser continua en dicho intervalo.[pic 30][pic 31]

1. Probar que existen dos puntos ,  en el intervalo  tal que  y [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

No se verifica que  se encuentre entre , ya que  tan solo puede valer 1 en su máximo valor, por lo que  es siempre menor que 0, por lo que [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Tampoco se verifica que  se encuentre en el intervalo, ya que como he dicho anteriormente,  es siempre menor que 0, por lo que [pic 42][pic 43][pic 44]

1. Deducir del apartado anterior que existe  en el intervalo tal que [pic 45][pic 46][pic 47]

[pic 48]

Continua en .[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

, por lo tanto, se verifica Bolzano, por lo que [pic 52][pic 53]

BLOQUE 2

17.- Estudiar crecimiento y extremos de las funciones:

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Crece: [pic 73]

Decrece: [pic 74]

Presenta un máximo relativo en: [pic 75]

Presenta un mínimo relativo en: [pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

...