El cálculo integral

El cálculo integral tiene su origen en el estudio de área de figuras planas; las fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos eran ya conocidas en la Grecia clásica, así como la de los polígonos regulares previa descomposición en triángulos.

El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por líneas curvas. Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 a.C.) para calcular el área del círculo por el método de exhaucion, es decir inscribiendo en el sucesivamente polígono con más lados. La suma de estas áreas se aproxima cada vez más al área del círculo, estando en el “limite” el valor exacto. Demostró además que, dados dos círculos de áreas A_1 y A_2 y radios r_1 y r_2, se verificaba que A_1/A_2 =(r_1^2)/(r_2^2 ) y que A=〖kr〗^2, siendo k una constante que Arquímedes llamo π y cuyo valor dijo hallarse entre 22/7>π>223/71. Arquímedes (287-212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco de parábola y la cuerda correspondiente, cosa realmente difícil en aquel tiempo, ya que no se disponía del álgebra formalizada ni de la geometría analítica. El método utilizado era el de agotamiento, esto es, se encaja el área entre dos polígonos, uno inscrito en la región y otro circunscrito a la región. Desde los griegos hasta el siglo XVII poco se hizo con relación al cálculo de áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies cerradas. Pascal, Fermat y Leibniz comienzan un estudio engarzado con el cálculo diferencial; así pues, aunque históricamente se estudian los primeros elementos del cálculo integral antes que el diferencial, en el siglo XVII se estudian y configuran a la par, relacionándose por medio de muchos e importantes resultados. Por esto la mayoría de los autores empiezan exponiendo, en primer lugar, al menos, las primeras nociones de cálculo diferencial, antes de comenzar el estudio del cálculo integral.

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