El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos

INTRODUCCION

Acontinuacion veremos la teoria de los conjuntos aplicada en la administracion, tambien ai veremos las calses de los conjuntos, como las propiedades.

Aunque siempre hemos estado rodeados de conjuntos, e incluso formamos parte de diversos conjuntos, la noción de conjunto tardó en aparecer, seguramente debido al nivel de abstracción que requiere este concepto, semejante al de los números. A pesar de su tardía puesta en escena, la teoría de conjuntos es tan valiosa que ha afectado significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas. Sin miedo a exagerar, puede afirmarse que todas las ramas de la matemática utilizan conjuntos. Por ejemplo, en aritmética se trabaja con los conjuntos de números y las operaciones efectuadas con ellos; la geometría estudia los conjuntos de puntos que definen diversas figuras y sus propiedades; el muestreo analiza las características de subconjuntos de una población, etcétera.

Se puede atribuir el nacimiento de las ideas conjuntistas a los trabajos de los matemáticos alemanes richarddedekind (1831-1916) y georg cantor (1845-1918).19

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación decualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que elconjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólocomo herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por GottlobFrege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Las reglas que rigen la construcción de conjuntos son:

La colección de objetos debe estar bien definida. Se debe saber con certeza cuándo un objeto pertenece al conjunto y cuándo no. El conjunto no está bien definido cuando hay ambigüedad sobre los elementos que lo componen o se requiere incorporar criterios adicionales para identificar tales elementos. Por ejemplo, si el conjunto está formado por las 15 empresas más importantes del país, se requiere conocer los criterios que confieren importancia a las empresas: volumen de ventas, capital social, número de empleados, etcétera.

Ningún objeto puede aparecer más de una vez; en general, los elementos deben ser distintos. Por ejemplo, el conjunto de letras que forman la palabra Cacahuamilpa es: c, a, u, m, 1, p.

El orden en el que se enumeran los objetos no tiene importancia.

DIAGRA DE CONJUNTO

 Conjunto Finito

Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.

Ejemplo:

A = { x/ x es un hablante nativo de Quechua }

B = { x/ x es un mes del año }

 Conjunto Infinito

Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo:

A = { p / p es un número primo }

B = { x / x ∈ R ∧ 8 < x < 9 }

C = { x / x es una estrella de universo }

 Un conjunto vacío o nulo

Es aquel que no posee elementos. Se denota por: f o bien por { }. Elconjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplo

f = { xx son los dinosaurios que viven en la actualidad }

{ }= { xx son los hombres mayores de 300 años }

f = { xx son números positivos menores que cero }

 Un conjunto universal

Es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U .Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplo

U = { xx son los días de la semana}= {lunes ,martes ,miércoles , jueves ,viernes ,sábado ,domingo }

A = { xx son los días de la semanainglesa}= {lunes,martes,miércoles, jueves, viernes}

B = { xx son los días del fin de semana }= {sábado, domingo }

C = { xx son los días de la semana con menos de siete letras }= {lunes, martes, jueves, sábado}

Nótese cómo: A ÌU, B ÌU, C ÌU

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos son subconjuntos del espacio muestral E, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION

UNIO N A È B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden

INTERSECCION A Ç B Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales

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