Ensayo modelo matemático

Al construir un modelo matemático lo que se intenta es determinar un conjunto de ecuaciones que representen, lo mejor posible, a una situación real. Cuando la variación de una población se realiza en función del tiempo, se obtiene un proceso (continuo o discreto) que recibe el nombre de dinámica de la población, siendo sus objetivo principales el estudiar los cambios numéricos que sufren las poblaciones y predecir su comportamiento

Interesa Encontrar m´etodos cuantitativos que permitan conocer la evoluci´on del n´umero de individuos a lo largo del tiempo, con el objetivo de “ajustar”los datos experimentales con los proporcionados por el modelo y adem´as predecir la poblaci´on futura.

Si representamos por yt al tama˜no de una poblaci´on en el tiempo t, existen cuatro procesos que afectan al cambio de su tama˜no, como son los nacimientos (N), las inmigraciones (I), las muertes (M) y las emigraciones (E). Si suponemos el intervalo de tiempo [t, t + 1], entonces el cambio de la poblaci´on puede expresarse por medio de la siguiente ecuaci´on

Hipótesis

Estudiemos un modelo de crecimiento de la poblaci´on para una especie de p´ajaros, donde el n´umero de machos sea igual al de hembras. Adem´as, sean X1(t − 1) la poblaci´on de hembras j´ovenes en el a˜no t − 1 y X2(t − 1) el n´umero de hembras adultas en el mismo a˜no.

Si intentamos hacer lo mismo que en el ejemplo anterior con la población

Entonces si ponemos esto en ecuaciónes tenemos primero la natalidad y vemos que las jóvenes no pondrán huevos pero las adultas X2 si pondrán una proporción gamma y luego la mortalidad

Diciendo que cierta proporci´on alfa de los p´ajaros j´ovenes sobrevivir´an para llegar a adultos y  Los adultos tambi´en mueren siendo β la proporci´on de adultos que sobreviven

Representación matricial

También la podemos ver como ---tambipen podemos ver que aplica en una regla de potencias que nos permite calcular X(t) elevando A a la t

Entonces podemos decir que A=

Poniendole valores a esto , podemos decir que A está conformado por tal tal , esto lo metemos en nuestra representación matricial

Y ahora Suponemos que empezamos con 5 hembras adultas y 1 hembra joven

Para t=1

Para t=2

Recordando una formula anterior podemos ver que cumple la forma exponencial al hacer A^t

Al computar la variación co

Se puede notar como la razón x1/x2 se vuelve constante en 2.77 , mientras que la población total aumenta aprox constante 44% anual  .

¿¿Entonces qué hay detrás de esto??  Hay una forma de demostrar que son estas convergencias

Cambio de base  podemos expresar X(t-1) en base U siendo tal

Luego por definición sabemos que un A por un vector es igual a el eigenvalue por ese vector

Luego al solucionar esto tenemos la ec.caracteristica y está será la respuesta para lambda

Si reemplazamos esto en la ecuación inicial , tendremos . que como vemos a medida que t aumenta , la ecuación se aproxima a esta

Entonces acá podemos ver la relación directa de los eigenvalues y eigenvector en este modelo poblacional

 Viendo que lambda1 = al crecimiento de la población y que al dividir las componentes del eigenvector tenemos la proporción entre las jóvenes y las adultas

Entonces ahora si cuando se entiende que hay detrás de ese modelo poblacional, si se puede encontrar alguna aplicación en Ing.civil.

[pic 1]

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