Ensayo sobre el movimiento armónico simple

Ensayo sobre el movimiento armónico simple

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Acosta Castro Luis Máximo

Noviembre del 2018.

Universidad Nacional del Centro del Perú.

Facultad de ingeniería civil

Cálculo 4

Contenido

Marco teórico        3

Vibraciones mecánicas        3

Oscilaciones forzadas y resonancia        4

Oscilaciones forzadas no amortiguadas        6

Latidos        7

Resonancia        7

Ensayo        9

Marco teórico

Vibraciones mecánicas

El movimiento de una masa unida a un resorte sirve como un ejemplo relativamente simple. De las vibraciones que se producen en sistemas mecánicos más complejos. Para muchos tales En los sistemas, el análisis de estas vibraciones es un problema en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Consideramos un cuerpo de masa m unido a un extremo de un resorte ordinario que Resiste tanto la compresión como el estiramiento; el otro extremo del resorte está unido a una pared fija.

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Supongamos que el cuerpo se encuentra en una posición sin frenos. Plano horizontal, de modo que solo pueda moverse hacia adelante y hacia atrás mientras el resorte se comprime. y se estira.

Indica con x la distancia del cuerpo desde su posición de equilibrio. Su posición cuando el resorte no está estirado. Tomamos x> 0 cuando el resorte es estirado, y por lo tanto x <0 cuando se comprime. Según la ley de Hooke, la fuerza reparadora Fs que el resorte ejerce sobre la masa es proporcional a la distancia x que el resorte ha sido estirado o complexionado. Debido a que este es el mismo que el desplazamiento x de la masa m desde su posición de equilibrio, esto permite que Fs y x tienen signos opuestos: Fs <0 cuando x> 0, Fs> 0 cuando x

La constante positiva de proporcionalidad k se llama constante de resorte. Tenga en cuenta que el grafico muestra la masa unida a un tablero de mandos: un dispositivo, como un shock Absorbente, que proporciona una fuerza dirigida opuesta a la dirección instantánea de movimiento de la masa m. Asumimos que el dashpot está diseñado de tal manera que esta fuerza FR es:

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proporcional a la velocidad v = dx/dt de la masa; es decir:

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La constante positiva e es la constante de amortiguación del salpicadero. Más generalmente, podemos considerar la ecuación (2) como especificando fuerzas de fricción en nuestro sistema (incluyendo aire Resistencia al movimiento de m). Si, además de las fuerzas Fs y FR, la masa está sujeta a una fuerza externa determinada FE = F (t), entonces la fuerza total que actúa sobre la masa es F = Fs + FR + FE. Usando la ley de Newton

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Obtenemos la ecuación diferencial lineal de segundo orden.

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Que gobierna el movimiento de la masa

Si no hay un dashpot (e ignoramos todas las fuerzas de orden), entonces establecemos c = 0 en la ecuación y llamar al movimiento sin amortiguar; es movimiento no amortiguado; se humedece el movimiento si c> O. Si hay sin fuerza externa, reemplazamos F (t) con 0 en la ecuación. Nos referimos a la moción como gratuita. en este caso y forzado en el caso F(t)≠O. Así, la ecuación homogénea

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Oscilaciones forzadas y resonancia

derivamos la ecuación diferencial:

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que gobierna el movimiento unidimensional de una masa m que está unida a un resorte (con constante k) y un dashpot (con constante c) y también es accionado por un externo fuerza f (t). Las máquinas con componentes giratorios comúnmente involucran masa-resorte Sistemas (o sus equivalentes) en los que la fuerza externa es simplemente armónica:

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donde la constante Fo es la amplitud de la fuerza periódica y w es su circular frecuencia de Para ver un ejemplo de cómo un componente rotativo de la máquina puede proporcionar un simulador fuerza armónica, considere el carro con un volante giratorio vertical que se muestra en Figura. El carro tiene masa m-mo, sin incluir el volante de masa mo. Los El centroide del volante está descentrado a una distancia a de su centro, y su ángulo la velocidad es w radianes por segundo El carro está unido a un resorte (con constante k). como se muestra. Supongamos que el centroide del carro está directamente debajo del centro del volante, y denota con x (t) su desplazamiento desde su posición de equilibrio (donde el muelle no está estirado). Figura nos ayuda a ver que el desplazamiento x del centroide del carro combinado más el volante está dado por:

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Ignoremos la información y apliquemos la segunda ley de Newton mx "= -kx, por qué. La fuerza ejercida por el resorte es -kx. Sustituimos x en la última ecuación para obtener

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es decir:

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Así, el carro con su volante giratorio actúa como una masa en un resorte debajo de la influencia de una simple fuerza externa armónica con amplitud Fo = mo aw2 • Tal El sistema es un modelo razonable de una lavadora de carga frontal con la ropa. siendo lavado cargado del centro. Esto ilustra la importancia práctica del análisis. Soluciones integrales de la ec. (1) con fuerzas externas como en (2).

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