Estadistica 2

[pic 1][pic 2]

1. El Departamento de Control de Calidad de una empresa ensambladora de vehículos está estudiando los rangos de velocidad que tiene el nuevo automóvil eléctrico, denominado E-MOVIL. Para ello ha diseñado una prueba de 1000 Km en el autódromo de la localidad para los 5 prototipos de los que se dispone. Se tiene un modelo teórico de que la velocidad promedio en realizar este recorrido es una variable aleatoria de tipo Beta entre 80 y 100 Km/h con parámetros α = 2 y β = 1. Con base en esta información y en los resultados de la prueba, se desea conocer lo siguiente:

Sea X la velocidad promedio de un E-MOVIL en hacer el recorrido, entonces

X~𝐵𝐸𝑇𝐴(𝑎 = 80; 𝑏 = 100; 𝛼 = 2; 𝛽 = 1) → ƒK(𝑥) = {

𝑥 − 80

;        80 < 𝑥 < 100[pic 3]

200

𝐹K(𝑥)

0;        𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

0;        𝑥 < 80

(𝑥 − 80)2[pic 4]

=                         ; 80 ≤ 𝑥 < 100 400

1;        𝑥 ≥ 100

1-A) Función de densidad marginal de la Mediana de las velocidades de los 5 E-MOVIL. Dado que n = 5, la mediana será el estadístico ordenado 3. Su función de densidad será

ƒ (𝑦 ) =        𝑛!        [𝐹 (𝑦 )]j−1[1 − 𝐹 (𝑦 )]𝑛−jƒ (𝑦 )|

[pic 5]

= 30[𝐹 (𝑦)]2[1 − 𝐹 (𝑦)]2ƒ (𝑦)

F3        j        (j − 1)! (𝑛 − j)!        K        j

K        j        K

j   𝑛=5        K        K        K

j=3

ƒF (𝑦) = {30 ([pic 6]

(𝑦 − 80)2 2

)[pic 7]

400

(1 −

(𝑦 − 80)2 2

)[pic 8]

400

(𝑦 − 80) ;        80 < 𝑦 < 100

200[pic 9]

0;        𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

ƒF3

(𝑦) =

3 10−5

(𝑦 − 80)  (1 −[pic 10]

32

(𝑦 − 80)2 2

)[pic 11]

400

;        80 < 𝑦 < 100

0;        𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

Se verifica que el área total bajo la curva es igual a uno.

1-B)        Función de distribución acumulativa del promedio de la menor y la mayor de las velocidades (recorrido muestral) de los 5 E-MOVIL.

Dado que n = 5, la menor y la mayor de las velocidades serán los estadísticos ordenados 1 y 5, por tanto, interesa conocer su función de densidad conjunta,

ƒ        (𝑦 , 𝑦 ) = {20[𝐹K(𝑦5) − 𝐹K(𝑦1)]3ƒK(𝑦1)ƒK(𝑦5);  𝑦1 ≤ 𝑦5

F1F5        1        5

0;        𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

ƒF F (𝑦1, 𝑦5) = {20 [[pic 12]

(𝑦5 − 80)2

−[pic 13]

400

(𝑦1 − 80)2]

400[pic 14][pic 15]

(𝑦1 − 80) (

200

𝑦5 − 80);   80 < 𝑦   ≤ 𝑦   < 100

200[pic 16]

0;        𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

10−9        2        2 3[pic 17][pic 18]

ƒF F (𝑦1, 𝑦5) = { 128 [(𝑦5 − 80)

− (𝑦1 − 80) ]

(𝑦1 − 80)(𝑦5 − 80);  80 < 𝑦1 ≤ 𝑦5 < 100

0;        𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

La región donde la conjunta es distinta de cero, se muestra con línea oscura en negro, a continuación:[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Sea Z, el promedio entre la menor y la mayor de las velocidades, entonces,[pic 33]

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