Estadistica

VARIABLES ALEATORIAS. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN. 1

Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral E, una variable aleatoria es una aplicación

Ejemplo: Se lanzan dos monedas, E = {cc, cx, xc, xx}, la siguiente variable aleatoria cuenta el

número de caras que se obtienen:

X : E 

cc 2

cx 1

xc 1

xx 0

Una variable aleatoria puede ser discreta, si sólo puede tomar una cantidad finita de valores, o

continua, si puede tomar infinitos valores.

La variable aleatoria del ejemplo anterior es discreta ya que solo, puede tomar los valores 0, 1 y 2.

Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2, ..., xn, la función de densidad o

función de probabilidad de la variable X es la función que asigna a cada valor xi la probabilidad de que

X tome ese valor, es decir:

f(xi) = p(X = xi)

y además se cumple åf(xi) = f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) = 1

En el ejemplo anterior la función de densidad es

f(0) = p(X = 0) = 1/4 = 0´25

f(1) = p(X = 1) = 2/4 = 0´5

f(2) = p(X = 2) = 1/4 = 0´25

y cumple f(0) + f(1) + f(2) = 1

Si X es una variable aleatoria discreta, la función de distribución F de X da la probabilidad de que

X tome un valor menor o igual a xi, es decir:

F(xi) = p(X £ xi)

En el ejemplo la función de distribución es

F(0) = p(X £ 0) = 0´25

F(1) = p(X £ 1) = 0´75

F(2) = p(X £ 2) = 1

Conociendo la función de distribución se puede calcular la probabilidad de que la variable

aleatoria discreta X tome valores en el intervalo (a,b] de la siguiente manera:

p(a < X £ b) = F(b) – F(a)

En el ejemplo p(0 < X £ 2) = F(2) – F(0) = 1 – 0´25 = 0´75

La media o esperanza de la variable aleatoria discreta X es

m = E(X) = åf(xi)·xi = f(x1)·x1 + f(x2)·x2 + ... + f(xn)·xn

La varianza de la variable aleatoria discreta X es

s2 = V(X) = å f(xi)·xi

2 – E(X)2

La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza

s = V(X)

Los cálculos para el ejemplo son:

m = E(X) = 0´25·0 + 0´5·1 + 0´25·2 = 1

s2 = V(X) = 0´25·02 + 0´5·12 + 0´25·22 – 12 = 0 + 0´5 + 1 – 1 = 0´5

s = 0¢5 = 0´7071

X: E ¾ ¾® R

VARIABLES ALEATORIAS. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN. 2

A continuación vamos a estudiar las variables aleatorias continuas.

Una función f : [a,b]  es una función de densidad si verifica estas dos condiciones:

f(t) ³ 0 en el intervalo [a,b]

f(t) es integrable en [a,b] y además f t dt a

ò b ( ) = 1

Si f es una función de densidad, la función de distribución F asociada a f es

x

a

0 si x<a

F(x) f (t)dt si

...