Estimadores estadisticos Estimador

Estimador

En estadística, un estimador es un estadístico (esto es, una función de la muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.

Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general, escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes, como insesgadez, eficiencia, convergencia y robustez (consistencia).

El valor de un estimador proporciona lo que se denomina en estadística una estimación puntual del valor del parámetro en estudio. En general, se suele preferir realizar una estimación mediante un intervalo, esto es, obtener un intervalo [a,b] dentro del cual se espera esté el valor real del parámetro con un cierto nivel de confianza. Utilizar un intervalo resulta más informativo, al proporcionar información sobre el posible error de estimación, asociado con la amplitud de dicho intervalo. El nivel de confianza es la probabilidad de que a priori el verdadero valor del parámetro quede contenido en el intervalo.

En la práctica, los intervalos de estimadores con distribuciones simétricas suelen indicarse dando el valor del estimador puntual utilizado como centro del intervalo y un valor que debe sumarse y restarse para obtener el límite superior e inferior; por ejemplo:

[pic 1] equivale a [pic 2]

Propiedades del estimador[editar]

Sesgo[editar]

Artículo principal: Sesgo estadístico

Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre la esperanza (o valor esperado) del estimador y el verdadero valor del parámetro a estimar. Es deseable que un estimador sea insesgado o centrado, es decir, que su sesgo sea nulo por ser su esperanza igual al parámetro que se desea estimar.

Por ejemplo, si se desea estimar la media de una población, la media aritmética de la muestra es un estimador insesgado de la misma, ya que su esperanza (valor esperado) es igual a la media de la población.

En efecto, si una muestra X=(X1,X2,...,Xn)t procede de una población de media μ, quiere decir que:

[pic 3] para cualquier i=1...n

[pic 4]La media aritmética o media presupuestal,

[pic 5], con lo que, al aplicar las propiedades de linealidad de la esperanza matemática se tiene que:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Eficiencia[editar]

Artículo principal: Eficiencia (estadística)

Diremos que un estimador es más eficiente o más preciso que otro estimador, si la varianza del primero es menor que la del segundo. Por ejemplo, si [pic 9] y [pic 10] son ambos estimadores de [pic 11] y

[pic 12]

diremos que [pic 13] es más eficiente que [pic 14]. Un estimador es más eficiente (más preciso), por tanto, cuanto menor es su varianza.

La eficiencia de los estimadores está limitada por las características de la distribución de probabilidad de la muestra de la que proceden. El teorema de Cramér-Rao determina que la varianza de un estimador insesgado [pic 15] de un parámetro [pic 16] es, como mínimo,

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