Estructuras Algebraicas

Grupo

Sea el par (A , ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria :

(A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:

a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A

b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .

Es decir , /

Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo es cuando además de ser un grupo,

d) es conmutativa. Es decir , : a, b A

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.

Ejemplos

1) El par ( Z , ) donde Z es el conjunto de los números enteros y es una operación definida como a b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.

Comprobación:

es una ley de composición interna en Z pues si a y b Z , a + b + 3 Z

es asociativa pues

= (a + b +3) c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6

y = a (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6

tiene elemento neutro e = –3 , pues

, a e = a entonces a + e +3 = a e = –3

y e a = a entonces e + a + 3 = a e = –3

tiene inverso , en nuestro caso

= –3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha

= –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda

es conmutativa pues = a + b + 3 = b + a + 3 =

Otros ejemplos:

1 ) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + )

Son grupos abelianos .

También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.

2 ) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento.

3 ) ( N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso aditivo.

4 ) ( Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

5 ) ( R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

6 ) ( Q – { 0 } , ) y ( R – { 0 } , ) Son grupos.

Semigrupo

Es un sistema algebraico de la forma en la cual A es un conjunto, en donde se ha definido una operación binaria interna . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales, con la operación suma, +. Que se representa: . Podemos ver que '+' es:

Una operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:

.

Una operación asociativa:

.

Y conmutativa:

.

Luego es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otros ejemplos son los formados por el conjunto + de los enteros positivos junto con una cualquiera de las siguientes operaciones:

• la multiplicación

• la obtención del m.c.d.

• la obtención del m.c.m.

Anillo

Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna y , la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si

a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A

b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .

Es decir , /

d) es conmutativa. Es decir , : a, b A

Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.

e) es asociativa.

Es decir , , : a, b, c A (a b) c = a ( b c)

Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.

f) distribuye doblemente sobre . Es decir, , , : a, b, c A

a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a ) ( c a )

g) conmutativa. Es decir , : a, b A a b = b a

Entonces tenemos un Anillo conmutativo.

h) posee elemento neutro

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