Estructuras Algebraicas y Espacios Vectoriales

INTRODUCCIÓN:

En el siguiente trabajo se expondrán los conceptos de estructuras algebraicas, espacios vectoriales y producto interno que son temas para finalizar el temario de álgebra para la carrera de ingeniería química en este primer semestre. Además de manejar los conceptos también se añadirán ejercicios para dejar en claro cada tema y que se entienda mas para futuras aplicaciones en la carrera.

CONCEPTOS:

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Existen dos tipos de operaciones:

1. Operación interna: llamamos operación interna en un conjunto A, a la operación que hace corresponder a cada par de elementos de AxA con un único elemento de A.

1. Operación externa: llamamos operación externa en un conjunto A sobre otro conjunto K, a la operación que hace corresponder a todo par de elementos (a, k) de AxK un único elemento de A.

Estructuras algebraicas con una operación interna

• Semigrupo: si (a, *) cumple la propiedad asociativa: si para todo a, b y c pertenecientes a A, se tiene que (a*b)*c = a*(b*c). Si además se cumple la propiedad conmutativa: a*b=b*a

• Monoide: Si (a,*) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por e: a*e=e*a=a

• Grupo: es un grupo si (G,*) cumple las siguientes propiedades: asociativas, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simetrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e

Estructuras algebraicas con una operación externa

• Espacio vectorial: Diremos que (V, *v, K) es un espacio vectorial si cumple

1. Si (K, *, °) es un cuerpo
2. (V, *) es un grupo conmutativo
3. Se cumple la propiedad distributiva de ° sobre * por ambos lados
4. Se cumple la propiedad pseudoasociativa: a°(b*c)=(a°b)°c
5. Existe elemento unidad

EJERCICIOS DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

1. Sea f : (R, +) 🡪 (G(R), °) aplicación dada por f(x) =  Probar que f es un morfismo y calcular su núcleo[pic 1][pic 2]

R= Veamos que f es un morfismo. Se tiene que verificar que f(0) = = id[pic 3]

Veamos ahora que f(a + b) = f(a)f(b). Para comprobar la igualdad será necesario usar las igualdades:

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a)

Entonces:

f(a)f(b) = = [pic 4][pic 5]

Calculamos el núcleo de f:

ker(f) = {x ∈ R  =  } = {2πk | k ∈ Z}[pic 6][pic 7]

1. Si G es un grupo cíclico, generado por un elemento a ∈ G, probar que cualquier morfismo f : G → H está unívocamente determinado por f(a).

R= Como G es cíclico, está generado por un elementosa ∈ G.

[pic 8]

Entonces f(x) = f = f por ser f un morfismo.[pic 9][pic 10]

1. Sea G un grupo y H un subgrupo de G definido por H = { | x ∈ G}. Probar que H es un subgrupo normal de G y que G/H es abeliano.[pic 11]

R= H =  Ha para todo a ∈ G. Trivialmente tenemos que H ⊆  Ha. Hay que ver que  Ha ⊆ H. Sea x ∈ H, entonces x = . Veamos que  xa ∈ H.  xa =   y 2 a =   y1ya =  ya  ya = ( ya) (  ya) = ( ya) 2 ∈ H ya que   ya ∈ G. [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Como H es un subgrupo normal G/H tiene orden 2. Todo grupo de orden 2 es abeliano.

1. Sea G grupo, y H un subgrupo de G. Se define el conjunto N = xH. Probar que N es un subgrupo normal de G.[pic 26][pic 27]

 R= N = aN. Sabemos que N ⊆ aN. Veamos la otra contención (aN ⊆ N). [pic 28][pic 29][pic 30]

aN= a(xH)∗ = ∗xH=(ax)H=yH= N [pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

El único paso dudoso es la igualdad entre asteriscos (∗ = ∗). Debemos tener en mente que sólo queremos la contención, no la igualdad. Entonces, sea t ∈ a(xH) donde t = as con s ∈xH. Por tanto, t = as donde s ∈ xH para cada x ∈ G. De ahí que, t = as con s = xhx−1 para algún h ∈ H y para cada x ∈ G. Luego, [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

t = as = a(xH) = (ax)h(  ) = (ax)H[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

donde h depende de x y no dé a. Por tanto, t ∈ (ax)H para cada x ∈ G, de ahí que t ∈ (ax)H como queríamos ver.[pic 55][pic 56][pic 57]

1. Sean m, n ∈ Z + − {0} y d = mcd (m, n).

 i: Probar que si existe un homomorfismo sobreyectivo de Z/mZ en Z/nZ entonces n|m.

ii: Si n|m y para todo a ∈ {0, 1, . . ., d − 1} consideramos ∈ Hom(Z/mZ, Z/nZ) definido por () =, probar que  es sobreyectiva si y sólo si mcd(a, n) = 1.[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

R=

i: Supongamos f : Z/mZ → Z/nZ sobreyectiva. Entonces < f([1]) >= Im(f) = Z/nZ. Entonces ord(f([1])) = ord(Z/nZ) = n. Como n = ord(f([1])) divide a ord([1]) = m tenemos que n|m.

...