Factorización trabajo

Factorización

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

Factorizar un polinomio

Un polinomio de grado n puede factorizar en un producto de polinomios de grado [pic 1]con [pic 2] y [pic 3].

Por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

[pic 4] [pic 5]

Factor Común Monomio

Se trata de extraer un monomio como factor común a cada uno de los términos de un polinomio.

El procedimiento empieza por extraer el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de los coeficientes del polinomio:

Ejemplo:

[pic 6]

Los coeficientes sin sus respectivos signos son: 12, 30 y 18. El M.C.D. de ellos es 6, luego dividimos cada uno de los coeficientes entre el número 6 por lo tanto se puede expresar que:

[pic 7]

Luego debemos identificar que variables o literales poseen en común todos los términos, y observamos que todos los términos cuentan con las variables "x" e "y", excepto "m" que no está en todos. Luego de identificar la variables comunes debemos observar cual es el menor exponente al que esta elevada la variable en los términos en cuestión; y podemos observar que el exponente menor de "x" es 1 y el menor exponente de "y" es 3. Por lo tanto podemos extraer como factor común también a [pic 8]. Para hacerlo debemos dividir cada término entre[pic 9]. Quedando la expresión factorizada de la siguiente forma:

[pic 10]

Factorización por Agrupación de Términos

La factorización por agrupación de términos puede utilizarse en polinomios con un número de términos par y mayor o igual a 4. Debe buscarse en este caso de factorización parejas de términos que tengan en común un factor. Ejemplo:

[pic 11]

Observamos por ejemplo que podemos agrupar los términos [pic 12], y [pic 13] porque poseen en común la "y", y sobran los términos [pic 14] y [pic 15] que tienen también en común la "p". Quedando expresado de la siguiente forma:

[pic 16]

Luego se saca el factor común de ambos, así:

[pic 17]

Luego observamos las expresiones que se encuentran dentro del paréntesis las cuales si las reordenamos según la propiedad conmutativa para suma, obtendremos lo siguiente:

[pic 18]

Se observa de nuevo que está en común el factor[pic 19], luego también puede sacarse como factor común a ambas expresiones o agrupaciones de términos, quedando al final la factorización así:

[pic 20]

Factorización por Tanteo Simple

La factorización por tanteo simple es útil en casos de ciertos trinomios, en los cuales el coeficiente principal es 1. En el procedimiento es necesario expresar siempre de forma canónica el polinomio y descomponer el último término en sus diferentes factores. Ejemplo:

[pic 21]

Luego se escoge la combinación de factores de -16 cuya suma tenga por resultado el coeficiente del término medio que es +6. Se observa que esos factores son +8 y -2, por lo tanto se colocan de la siguiente manera:

[pic 22]

Factorización Por Tanteo Especial

Este tipo de método sirve también para poder factorizar ciertos trinomios, en los cuales el término principal es un número entero distinto de 0, +1 o -1. Se puede intentar realizar este método por tanteo propiamente dicho, pero podría resultar muy tedioso en algunos casos, por lo tanto se mostrará aquí un método sencillo de realizar. Ejemplo:

[pic 23]

En este caso se toman los coeficientes que están en los términos de los extremos del trinomio, que en este caso son +6 y -4; luego estos se descomponen en sus distintos factores posibles ubicándolos en un cuadro de forma que los factores del coeficiente principal (+6) estén en la fila, y los factores del último término (-4) estén en la columna de la siguiente manera:

Luego de ubicar correctamente los factores y ubicarlos en el grupo correctamente, se procede a multiplicar los factores de forma cruzada así:

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