Flexión transversal

FLEXIÓN

Una barra está en flexión si en sus secciones (fig. 1) transversales están solicitadas por momentos flectores; a las barras que trabajan a flexión se les denominan vigas.

FLEXIÓN PURA

Una barra está a flexión pura, si en su sección transversal el momento flector es el único factor de fuerza que interviene, siendo nulas las fuerzas normales y cortantes, ver la fig. 2.

Figura 1

FLEXIÓN TRANSVERSAL

Una barra está a flexión transversal, cuando en su sección actúan tanto los momentos flectores y las fuerzas cortantes.

Figura 2

HIPÓTESIS

En el estudio de las barras sujetas a flexión se suponen las siguientes hipótesis:

1. La barra es recta y de sección constante.

2. El módulo de elasticidad es igual en tracción y en compresión

3. El material es de estructura homogénea y se comporta hasta ciertos limites según la ley de Hooke.

FLEXIÓN PURA EN LAS VIGAS SIMÉTRICAS

Sea la viga de la fig. 3a sometida a la acción del momento Mx, que provoca una curvatura de centro O y radio R, para conocer el efecto producido, se toman las secciones adyacentes I y II (fig. 3b). Como consecuencia de la acción del momento flector, se deforma, tal como se muestra en la Fig. 3c, de modo que la fibra superior A-C se acorta una longitud C-C', está en compresión, mientras que la fibra inferior B-D se alarga en D-D' y está en tracción; en cambio la que corresponde a M-N no cambian de magnitud (no está expuesta a esfuerzo alguno), se conoce como la superficie neutra (eje neutro, L.N) que pasa por el centro de gravedad.

fig. 3a fig. 3b

fig. 3c

Sea r-s una fibra situada a una distancia c del eje neutro, en la figura 3c se ha tomado la fibra mencionada por debajo de la linea neutra, por consiguiente su alargamiento (deformación) es s-t que tiene la forma de un arco de radio c y ángulo dθ, tal que:

.........................(1)

que también se puede escribir de la siguiente forma

......................(2)

por ser ns paralela con Om;

si δ = st. Además

δ = cdθ, y mn=Rdθ por consiguiente la deformación unitaria es:

reemplazando, , luego

............................ (3)

R, es el radio de curvatura.

Por la ley de Hooke, la deformación unitaria es:

..........................(4)

igualando las relaciones (3) y (4) se tiene

........................(5)

La relación (5) es el esfuerzo normal según la ley de Hooke mediante la curvatura 1/R.

En la sección transversal del miembro (figura 3d), se tiene el area elemental dA, donde actua la fuerza normal elemental dF cuyo valor es:

figura 3d

dF=σdA .........................(6)

reemplazando  de la relación (5) tenemos, luego:

integrando,

......................(7)

∫cdA, es el momento estático del área de la sección transversal de la viga respecto al eje neutro.

El momento flector debido a la fuerza dF a la distancia c es:

dM = cdF, reemplazando dF de la relación (7) el momento flector: integrando

..................(8)

∫c2dA es el momento de inercia I del área de la sección respecto al eje neutro.

Reemplazando en (8) el momento flector para producir la curvatura, luego:

......................(9)

La ecuación (9) es la base para la teoría de desplazamiento por flexión elástica en las vigas.

La relación EI es la rigidez de la barra a la flexión.

Si el radio de curvatura es:

...................(10)

reemplazando (10) en (9)

.......................(11)

combinando las relaciones (5) y (9) se tiene que:

.......................(12)

La ecuación (12) es el esfuerzo normal en cualquier punto de la sección de la viga Fig. 3.4

según la relación (12) el esfuerzo normal tiene valor máximo en los extremos (Fig. 3.4b), es decir

Haciendo:

, entonces el esfuerzo máximo es:

............................(13)

Z, se conoce como el módulo resistente de la sección, propiedad que representa el desarrollo del esfuerzo flector en cm3

Ejemplo E.1.

Calcular el esfuerzo normal máximo y el radio de curvatura para la viga de la fig. E.1 producido por el momento de 8 kN.m, con módulo de elasticidad 82 GPa, la sección del material es 5x8 cm. Despreciar el peso propio.

Solución:

Cálculo de momento de inercia de la sección:

el esfuerzo normal máximo para c=8/2=4 cm

Cálculo del radio de giro, según la relación (9):

VIGAS BAJO LA ACCIÓN DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES

Sea la viga sujeta a la acción de una carga transversal F (Fig.3.4a), cuyas reacciones son RA y RB, las relaciones entre estas fuerzas originan la fuerza cortante V, por consiguiente la viga es solicitada por dos fuerzas, el momento 7flector y la fuerza cortante V, como consecuencia en la sección transversal los esfuerzos normales σ y los esfuerzos cortantes (tangenciales) τ.

Considerando secciones

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