Formulario álgebra lineal
Enviado por Israel Ieb • 8 de Julio de 2019 • Síntesis • 1.871 Palabras (8 Páginas) • 674 Visitas
Álgebra lineal
Determinantes:
• Menor: Matriz que se obtiene al retirar una columna y un renglón de una matriz de un orden mayor.
• Cofactor: Determinante de una matriz afectado por un signo, el signo se determinará por la posición de donde se obtiene el menor.
Cálculo de determinante por método de expansión de cofactores.
• Se escoge una linea de la matriz (ya sea columna o renglón), los elementos de esa linea se multiplican por su respectivo cofactor.
• NO SE TE OLVIDEN LOS SIGNOS DE POSICIÓN
Regla de Sarrous
Solo se aplica a matrices 3x3
Propiedades de los determinantes
1. Si cualquier renglón o columna de A es un vector 0, entonces |A| = 0
2. Si A tiene 2 renglones o columnas iguales, entonces |A| = 0
3. Si un renglón (o columna) de A es un múltiplo escalar de otro, entonces |A| = 0
4. Se tienen matrices A y B, idénticas, excepto por una columna (o renglón) J, y la columna (o renglón) J de C, es la suma de esas J-esimas columnas (o renglones) de A y B, entonces |C| = |A|+|B|
5. Propiedad Mi(c): Si el renglón i, o columna j de A se multiplica por un escalar c, entonces |A| se multiplica por c
6. Propiedad Aij(c): Si se suma un múltiplo escalar de un renglón o columna de A a otro renglón o columna, el determinante no cambia
7. Propiedad Pij: El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto de multiplicar |A| por -1
Teoremas de los determinantes
• det AB = det A * det B
• A = LU, con A cuadrada, L con unos en la diagonal
|A| = |U| = producto de los elementos de la diagonal de U
• PA=LU, P matriz permutación
• |A’| = |A|
•
Método de la condensación
• Generar una linea e la matriz con puros ceros, pero un escalar, para así poder reducir la matriz a un orden menor
Método de la matriz adjunta
• A-1= (Adj A) / |A|
• Adj A = (cof A)’
Regla de Cramer
• A matriz nxn, |A| diferente de 0, entonces
•
• , , D es el determinante remplazando la columna j a a por el vector columna
Espacios vetoriales
• V={v₁ ,v₂ ,v₃ ,…,vn}
• Un espacio vectorial es un conjunto de vectores finito
• Estos pueden presentarse en forma de vectores, polinomios y matrices.
◦ Vectores.
▪ Un vector en R, R₂ , R₃ , R₄ ,…., Rn
◦ Polinomios. Ejemplos
▪ P₀ =1 se puede representar como P₀ =(1)
▪ P₁ =ax+b se puede representar como P₁ =(b a)
▪ P₁ =x se puede representar como P₁ =(0 1)
▪ P₂ =ax2+bx+c se puede representar como P₂ =(c b a)
▪ P₂ =x2 se puede representar como P₂ =(0 0 1)
▪ P₃ =x3 se puede representar como P₃ =(0 0 0 1)
▪ Generalizando Pn= a₀ +a₁ x₁ +a₂ x₂ +a₃ x₃ +….+a(n-1) x(n-1)+anxn
▪ Pn=(a₀ , a₁ , a₂ , a₃ , …. a(n-1), an)
◦ Matrices
▪ Una matriz de orden 2x2, se puede representar como una matriz 4x1
▪ A={{a,b},{c,d}}=(a b c d)
▪ Una matriz de orden 2x3, se puede representar como una matriz 6x1
▪ A={{a,b,c},{d,e,f}}=(a b c d e f)
• Para que este sea considerado como un espacio vectorial debe cumplir 10 axiomas
• Se tienen 3 vectores x, y y z pertenecientes al espacio vectorial mayor generalizados y escalares a y b
1. x+y pertenece al espacio vectorial mayor Cerradura
2. (x+y)+z=x+(y+z) Asociativa
3. Si 0+x=x+0=x Idéntica aditiva
4. -x+x=x+(-x)=0 Inverso aditivo de x
5. x+y=y+x Conmutativo
6. ax pertenece al espacio vectorial mayor Cerradura
7. a(x+y)=ax+ay
8. (a+b)x=ax+bx
9. a(bx)=(ab)x Asociativa
10. 1x=x
• CONCLUIR LOS RESULTADOS DE CADA AXIOMA
• GENERALIZAR ejemplo: x=(x1, y1, z1) ; y=(x2, y2, z2)
• Espacio vectorial trivial V={0}
• Conjuntos que no son un espacio vectorial V={constante}, V={1}, V={(1,1)}
Subespacio
• Subconjunto de vectores que pertenecen a un espacio
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