ALGEBRA LINEAL

TRABAJO COLABORATIVO

ALGEBRA LINEAL

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. |u|=2; θ = 120º

u=|u| cos⁡Ɵȋ+|u| sin⁡Ɵĵ

u=|2| cos⁡〖(120º)ȋ〗+|2| sin⁡〖(120º)ĵ〗

u=2(-1/2)ȋ+2(√3/2) ĵ

u=-1ȋ+√3 ĵ

(u ) ⃗ = (-1ȋ,√3 ĵ)

b. |v|=3; = 3; θ = 60º

v=|v| cos⁡Ɵȋ+|v| sin⁡Ɵĵ

v=|3| cos⁡〖(60º)ȋ〗+|3| sin⁡〖(60º)ĵ〗

v=3(1/2)ȋ+3(√3/2) ĵ

v=3/2 ȋ+(3√3)/2 ĵ

(v ) ⃗ = (3/2 ȋ,(3√3)/2 ĵ)

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

u ⃗-v ⃗

u ⃗-v ⃗=(-1ȋ,√3 ĵ)-(3/2 ȋ,(3√3)/2 ĵ)=(-5/2 ȋ,-√3/2 ĵ)

v ⃗-u ⃗

v ⃗-u ⃗=(3/2 ȋ,(3√3)/2 ĵ)-(-1ȋ,√3 ĵ)=(5/2 ȋ,√3/2 ĵ)

5v ⃗ -2( u) ⃗

5v ⃗ -2( u) ⃗=(15/2 ȋ,(15√3)/2 ĵ)-(-2ȋ,2√3 ĵ)=(19/2 ȋ,(11√3)/2 ĵ)

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. (u ) ⃗ = 2ȋ+9 ĵ y (v ) ⃗ = -6ȋ-4 ĵ

u*v=(2ȋ+9 ĵ)*(-6ȋ-4 ĵ)=-12-36=-48

|u|=√(2^2+9^2 )=√85

|v|=√(〖(-6)〗^2+〖(-4)〗^2 )=√52=2√13

cos⁡〖θ=(u*v)/|u||v| 〗

cos⁡〖θ=(-48)/|√85||2√13| 〗

cos⁡〖θ=-0.721〗

θ=cos^(-1)⁡〖(-0.721〗)

θ=136º8`13.57"

2.2. (u ) ⃗ = -ȋ-4 ĵ y (v ) ⃗ = -7ȋ-5 ĵ

u*v=(-ȋ-4 ĵ)*(-7ȋ-5 ĵ)=7+20=27

|u|=√(〖(-1)〗^2+〖(-4)〗^2 )=√17

|v|=√(〖(-7)〗^2+〖(-5)〗^2 )=√74

cos⁡〖θ=(u*v)/|u||v| 〗

cos⁡〖θ=27/|√17||√74| 〗

cos⁡〖θ=〗0.761

θ=cos^(-1)⁡( 0.761)

θ=40º25`33.88"

Dada la siguiente matriz, encuentre A^(-1)empleando para ello el método de

Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

A=(■(8&5&3@7&-2&-1@0&1&-3))

A^(-1)=(■(7/182&18/182&1/182@21/182&-24/182&29/182@7/182&-8/182&-51/182))

Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

2 0 9 2 1

8 -1 3 -2 1

-4 0 -4 2 1

0 0 0 5 -2

0 2 0 1 1

B=

=-4( )+8( )+2( )

=-4(-(-2)|■(0&9&2@-1&3&-2@2&0&1)|+5|■(0&9&1@-1&3&1@2&0&1)|)+8(5|■(0&9&1@0&-4&1@2&0&1)|

-(-2)|■(0&9&2@0&-4&2@2&0&1)|)+2(5|■(-1&3&1@0&-4&1@2&0&1)|-(-2)|■(-1&3&-2@0&-4&2@2&0&1)|)

=-4(-(-2)(-39)+5(21))+8(5(26)-(-2)(52))+2(5(18)-(-2)(0))

=-4(-78+105)+8(130+104)+2(90)=-4(27)+8(234)+180=1944

Det B =1944

Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes (Recuerde: A^(-1)=1/det⁡A *Adj A).Nota: Describa el proceso paso por paso

A=|■(-7&5&1@8&0&5@-2&1&-5)|

-7 5 1

8 0 5

-2 1 -5

-7 5 1

8 0 5

detA=

=0+8-50-0+35+200=193

Cofactores

A_11=〖(-1)〗^2 |■(0&5@1&-5)|=1(-5)=-5

A_12=〖(-1)〗^3 |■(8&5@-2&-5)|=-1(-40+10)=-1(-30)=30

A_13=〖(-1)〗^4 |■(8&0@-2&1)|=1(8)=8

A_21=〖(-1)〗^3 |■(5&1@1&-5)|=-1(-25-1)=-1(-26)=26

A_22=〖(-1)〗^4 |■(-7&1@-2&-5)|=1(35+2)=1(37)=37

A_23=〖(-1)〗^5 |■(-7&5@-2&1)|=-1(-7+10)=-1(3)=-3

A_31=〖(-1)〗^4 |■(5&1@0&5)|=1(25)=25

A_32=(-1)^5 |■(-7&1@8&5)|=-1(-35-8)=-1(-43)=43

A_33=〖(-1)〗^6 |■(-7&5@8&0)|=1(-40)=-40

Matriz de cofactores

C_(A )=|■(-5&30&8@26&37&-3@25&43&-40)|

Transpuesta de la matriz de cofactores

〖(C_A)〗^T=|■(-5&26&25@30&37&43@8&-3&-40)|=Adj A

A^(-1)=1/det⁡A *Adj A

A^(-1)=1/193 |■(-5&26&25@30&37&43@8&-3&-40)|=|■(-5/193&26/193&25/193@30/193&37/193&43/193@8/193&-3/193&-40/193)|

A^(-1)=|■(-5/193&26/193&25/193@30/193&37/193&43/193@8/193&-3/193&-40/193)|

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