Fracciones Parciales

FRACCIONES PARCIALES

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y

obtener sumas de expresiones más simples.

Hay cuatro casos:

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

Paso 1:

Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la

del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de

la función del numerador.

Paso 2:

Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,

px +q, o factores cuadráticos irreductibles, ax bx  c 2 , y agrupar los factores

repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores

diferentes de la forma  m px  q , donde m1o  n

ax bx  c 2 los números m y n

no pueden ser negativos.

Paso 3:

Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es

lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

...

factor factor

 

segundo

B

primer

A

Ejemplo 1:

Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

x x x

x x

2 3

4 13 9

3 2

2

 

 

Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo

tanto no tengo que hacer una división larga.

Segundo: factorizo el denominador

2 3  2 3  3 1 3 2 2 x  x  x  x x  x   x x  x 

Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma

2 3 3 1

4 13 9

3 2

2







 

 

 

x

C

x

B

x

A

x x x

x x

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

4 13 9  3 1   1   3 2 x  x   A x  x   B x x  C x x 

Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:

Opero los paréntesis

4x 13x 9 Ax 2x 3 Bx x Cx 3x 2 2 2 2         

Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi

     

     

x x x A B C x A B C A

x x Ax Bx Cx Ax Bx Cx A

x x Ax Ax A Bx Bx Cx Cx

x x Ax Ax A Bx Bx Cx Cx

x x A x x B x x C x x

4 13 9 2 3 3

4 13 9 2 3 3

4 13 9 2 3 3

4 13 9 2 3 3

4 13 9 2 3 3

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

        

        

        

        

        

Mis tres ecuaciones son:

1A 1B 1C  4

2A 1B 3C  13

9  3A

Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A

9  3A

A

A









3

3

9

Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones

  

1

4 3

3 4

3 1 4

1 1 1 4

 

  

  

  

   

B C

B C

B C

B C

A B C

  

3 7

3 13 6

6 3 13

2 3 3 13

2 1 3 13

  

   

  

  

   

B C

B C

B C

B C

A B C

Multiplico las letras en los paréntesis

Quito los paréntesis

Los ordeno

Factorizo asi

Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C

3 7

1

  

 

B C

B C

C 2

4 8



C 

1

1 2

2 1

1

 

 

 

 

B

B

B

B C

Coloco las respuestas en la letra correspondiente

1

2

3

3 1

2 3 3 1

4 13 9

3 2

2







 







 

 

 

x x x x

C

x

B

x

A

x x x

x x

Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no

repetidos que es mucho mas fácil.

2 3 3 1

4 13 9

3 2

2







 

 

 

x

C

x

B

x

A

x x x

x x

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

4 13 9  3 1   1   3 2 x  x   A x  x   B x x  C x x 

Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

x  0

3

3 0

 

 

x

x

1

1 0



 

x

x

Ahora sustituyo los valores de x

x = 0

4 13 9  3 1   1   3 2 x  x   A x  x   B x x  C x x 

            

  

A

A

A B C

A B C



  

     

        

3

9 3

0 0 9 3 1 0 0

4 0 13 0 9 0 3 0 1 0 0 1 0 0 3 2

x = -3

4 13 9  3 1   1   3 2 x  x   A x  x   B x x  C x x 

            

...