Descomposicion En Fracciones Parciales

Descomponer en fracciones parciales:

los valores se toman de la igualdad.

Resolver

Reescribiendo: =

Entonces:

Donde: . Luego: y

Para la segunda integral de la derecha, hacer

Obteniendo:

Siendo: =

=

Resolver

Nos damos cuenta que el grado del numerador es mayor que el denominador, entocnes primero haremos una división larga.

Lo que tenemos que hacer ahora es factorizar el denominador tanto como sea posible.

Ahora debemos expresar la función racional propia como una suma de fracciones parciales de la forma

Un teorema del algebra nos garantiza que siempre es posible hacer esto y tenemos cuatro casos basicos:

Caso 1: El denominador es un producto de factores lineales distintos.

Lo que significa que podemos escribir:

en donde no hay factor que se repita. En este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes tales que:

Resolver

Ya que el grado del numerador es menor que el del denominador no necesitamos dividir. Factorizamos el denominador como:

El denominador tiene tres factores lineales distintos y la descomposición en fracciones parciales es:

Para encontrar los valores de A, B y C, multiplicamos ambos lados de esta ecuacion por

Los polinomios de esta ecuacion son identicos, de modo que sus coeficientes han de ser iguales.

El coeficiente de , en el lado derecho, es y debe ser igual al coeficiente de en el lado izquierdo, que es 1. De igual forma los coeficientes de x son iguales y los terminos constantes tambien. Con esto llegamos al siguiente sistema de ecuaciones en

Al resolver el sistema obtenemos

Al integrar el termino intermedio hemos recurrido a la sustitucion mental

Resolver

Como el denominador ya esta factorizado, ahora descompondremos en fracciones:

Bueno ahora tendremos que multiplicar a cada fracción por:

Y nos quedaría de esta forma:

Despues de multiplicar cada fracción el resultado sería:

ahora encontramos polinomios que parescan tener las mismas características:

el valor de A sería:

Ahora multiplicamos por 3 la primera ecuación para poder eliminar la variable B:

Ahora escojemos una ecuación y despejamos para B:

Como ya tenemos los 3 valores de A,B y C sustituimos en la fracción parcial:

La respuesta correcta quedaría de la forma siguiente:

Ejemplo # 6

Caso 1 Todos los factores del denominador son distintos.

Factorizamos el denominador

A cada factor lineal que esté una sola vez en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una sola fracción.

simple de la forma donde A es una constante cuyo valor habrá que calcular.

En el ejemplo descomponemos la fraccion en tres fracciones cuyos numeradores seran A, B, C. Observa que el grado del

denominador es tres y es el mismo numero de constantes por determinar.

Factorizamos el denominador

Reducimos a una sola fraccion, aplicamos el mcm. que en este caso es : mcm =

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores tambien deben ser iguales,

por lo tanto

Para calcular los valores de las constantes A, B y C obtenemos las raices de x(x - 2)(x + 1) que son:

Evaluando las raices en

Para

Para

Para

Sustituimos los valores obrenido de A, B, y C

Integramos

Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda

...