Fracciones Parciales

Fracciones Parciales

Fracciones Propias e Impropias

Definición 1 Se dice que una función racional P(x)

Q(x)

es una fracción propia, si el grado del

polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el

grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un

polinomio mas una fracción propia.

Es decir,

P(x)

Q(x)

= {polinomio} + N1(x)

Q(x)

Caso 1 El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.

Esto significa que podemos escribir

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) · · · (akx + bk)

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1,A2, · · · ,Ak tales

que

P(x)

Q(x)

= A1

a1x + b1

+ A2

a2x + b2

+ · · · + Ak

akx + bk

Ejemplo Descomponer en fracciones parciales la fracción:

1.

7x + 3

x2 + 3x − 4

Solución Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como

sigue:

x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1)

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

7x + 3

x2 + 3x − 4

=

7x + 3

(x + 4)(x − 1)

= A

x + 4

+ B

x − 1

Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4)(x − 1),

obteniendo

7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)

desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

A + B = 7

−A + 4B = 3 ) A = 5, B = 2

Por lo que la fracción original queda:

1

7x + 3

x2 + 3x − 4

==

5

x + 4

+

2

x − 1

2. x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − 2x

Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:

2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x − 2 = x(2x − 1)(x + 2)

Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

x2 + 2x − 1

x(2x − 1)(x + 2)

= A

x

+ B

2x − 1

+ C

x + 2

multiplicando ambos lados de la igualdad por el factor común, y luego resolviendo la

ecuación, se obtiene

x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1)

con

A =

1

2, B =

1

5

y C = −

1

10

así

x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − 2x

dx =

1

2

x

+

1

5

2x − 1

+

− 1

10

x + 2

Caso 2 El denominador q(x) es un producto de factores lineales, algunos de

los cuales se repiten.

Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a1x+b1)k, entonces la descomposición

en fracciones parciales contiene k términos de la forma:

A1

a1x + b1

+ A2

(a1x + b1)2 + · · · + Ak

(a1x + b1)k

donde A1, A2, · · · ,Ak son constantes.

Ejemplo Descomponer en fracciones parciales:

1.

5x2 − 36x + 48

x(x − 4)2

Solución La descomposición en fracciones parciales es:

5x2 − 36x + 48

x(x − 4)2 = A

x

+ B

(x − 4)

+ C

(x − 4)2

2

multiplicando ambos miembros de la igualdad por el denominador común

5x2 − 36x + 48 = A(x − 4)2 + Bx(x − 4) + Cx

obteniendo el sistema:

A + B = 5

−8A − 4B + C = −36

16A = 48

de donde

...