Integración Por Fracciones Parciales

La Integral

El significado que se le atribuye al concepto “de Integrar” es un tanto complicado. La respuesta dependerá tanto de qué es lo que se está integrando, como del enfoque y la interpretación particular que se le quiera dar a este concepto.

Este proceso de paso de la forma diferencial a la función original puede efectuarse de varias maneras. La numérica, en la que se obtiene una lista de valores de esta relación entre las variables; la gráfica, en la que se construye su forma gráfica y la simbólica, en la que se descubre su fórmula. En exposiciones tradicionales sobre integración, en método simbólico es el único tratado. Sin embargo, el método numérico también es muy importante ya que es el utilizado en computación, además de ser muy rico conceptualmente. El método gráfico ayuda también ayuda a entender el proceso de integración. Siempre se trata de balancear estos tres enfoques.

Aún cuando resultan en cierta forma equivalentes, conviene distinguir entre la integración aplicada a formas diferenciales y la aplicada a funciones, debido a que tienen significados diferentes. Empezaremos definiendo lo que quiere decir integrar una forma diferencial y explicaremos su relación con la integral de una función. Al final se comenzarán a establecer las conexiones conceptuales entre la integral, la diferencial y la derivada ya construir la maquinaria del cálculo integral.

Definición de la integral de una forma diferencial

La integral de una forma diferencial es una función cuyos cambios diferenciales coinciden con la forma diferencial dada.

Si tenemos la forma diferencial de una función, la cual sabemos debe ser de la forma:

df = r (x) dx

La integral recuperará la relación entre las variables: f (x). Si usamos el signo:

∫ "Una S alargada"

Para indicar la integral de una forma diferencial, lo anterior se expresa simbólicamente de la siguiente manera:

∫ df=∫ r(x) dx=f(x)

Así, dada la forma diferencial, siempre podemos extraer de ella la derivada de la función que estamos buscando. Integrar una forma diferencial se podría pensar entonces como el paso para obtener la función conociendo su derivada. Esto es es simplemente una manera más compacta de concebir el proceso de integración.

Definición de la integral de una función

La integral de una función es otra función cuya derivada coincide con la función dada.

Simbólicamente, si usamos la letra D para representar la operación de derivar y la letra I para la operación de integrar, dada la función r (x), su integral I{r} está definida como:

I (r) ≡ f tal que D(f)= r

Integrar una función es pensar a ésta como representando la función pendiente (la derivada) de alguna función, llamada su primitiva, la cual queremos encontrar. Si tenemos una función pendiente m cuya función primitiva es p, es decir, la derivada de p es m, entonces por definición la integral de m será p,

En este sentido la Integración es la operación inversa de la derivación. Así por ejemplo, ya que la derivada del seno es el coseno, la integral de coseno será el seno:

D [sen (x)] = cos (x) nos dice que I [cos (x)] = sen (x)

Integración simbólica, numérica y gráfica.

Ya definimos la integral de una función, pero no hemos explicado cómo se encuentra. Esto dependerá del modo (simbólico, numérico o gráfico) en el que estemos trabajando. Todos ellos se basan en recuperar la forma de la función integral, a partir de la información dada por su derivada. Sin embargo, en cada uno de ellos, el procedimiento es bastante diferente.

La integración simbólica de funciones aún cuando en principio es bastante sencilla (buscar la fórmula de una función cuya derivada coincida con la función pendiente dada), en la práctica puede resultar muy complicada. Lo que se hace para simplificar esta tarea es adquirir experiencia obteniendo la derivada de familias de funciones y observando patrones para poder invertir el proceso. Además, existen algunas técnicas que cambian la forma de la función a integrar y que facilitan muchas veces este proceso. En realidad, nosotros sólo tenemos que aprovechar los resultados obtenidos por grandes científicos que han trabajado es esto durante los últimos cuatro siglos. Se cuenta además, para realizar esta tarea, con tablas de integrales e incluso, recientemente, con computadoras y supercalculadoras, las cuales integran simbólicamente.

La integración gráfica además de tener una utilidad práctica, ayuda al desarrollo conceptual del significado de la integral. Este tipo de integración puede estar basada en tres ideas diferentes: (1) en la información de la pendiente local dada por

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