Integración por fracciones parciales

[pic 1]

[pic 2]

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería Civil

Materia                        :        Matemática II

Nombre del Profesor        :         Walter Guillermo, Mangan García

Nombre del estudiante        :         Hilton Vargas Aguilar

Sección                        :        A

Tema del trabajo                :         Integración por fracciones parciales

Piura, 30 de mayo de 2018

Fracciones Parciales

Fracciones Propias e Impropias

Deftnición 1 Se dice que una función racional P (x) es una fracción propia, si el grado del[pic 3]

Q(x)

polinomio P (x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el

grado de P (x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio mas una fracción propia.

Es decir,

P (x) = {polinomio} + N1(x)[pic 4][pic 5]

que

Caso 1        El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) · · · (akx + bk)

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1, A2, · · · , Ak tales

P (x) =         A1        +         A2        + · · · +         Ak        

Q(x)

a1x + b1

a2x + b2

akx + bk

Ejemplo        Descomponer en fracciones parciales la fracción:

1.        7x + 3[pic 6]

x2 + 3x − 4

Solución        Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1)

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

7x + 3

[pic 7]

x2 + 3x − 4

=        7x + 3

(x + 4)(x − 1)[pic 8]

=        A

x + 4[pic 9]

+        B

x − 1[pic 10]

Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4)(x        1), obteniendo[pic 11]

7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)

desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

A + B        = 7

−A + 4B        =  3        ⇒        A = 5,   B = 2

Por lo que la fracción original queda:

2.                x2 + 2x − 1 2x3 + 3x2 − 2x[pic 12]

7x + 3

[pic 13]

x2 + 3x − 4

==        5

x + 4[pic 14]

+        2

x − 1[pic 15]

Solución        Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:

2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x − 2 = x(2x − 1)(x + 2)

Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

x2 + 2x − 1[pic 16]

= A +        B        +        C

[pic 17]                [pic 18][pic 19]

x(2x − 1)(x + 2)

x        2x − 1        x + 2

multiplicando ambos lados de la igualdad por el factor común, y luego resolviendo la ecuación, se obtiene

x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1)

con

1        1        1[pic 20][pic 22][pic 21]

así

A = 2 , B = 5 y C = − 10

x2 + 2x − 1

1        1         1

=        +        +[pic 23]

[pic 24]

 2

2x3 + 3x2 − 2x        x[pic 25]

         5        

2x − 1

         10

x + 2

Caso 2        El denominador q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a1x + b1)k , entonces la descom- posición en fracciones parciales contiene k términos de la forma:

         A1        +         A2        + · · · +         Ak        

a1x + b1

(a1x + b1)2

(a1x + b1)k

donde A1, A2, · · · , Ak son constantes.

Ejemplo        Descomponer en fracciones parciales:

1. 5x2 − 36x + 48[pic 26]

x(x − 4)2

Solución        La descomposición en fracciones parciales es:

...