Integración por fracciones parciales

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Tema: Integración por fracciones parciales

 Introducción

En la investigación hablaremos acerca del tema de integración por fracciones parciales, para esto es importante saber que este método nos ayuda a integrar las funciones racionales que difícilmente se resuelven por otros métodos; Este método nos permite descomponer una fracción racional en varias fracciones y a su vez obtener de manera directa una integral de Laplace inversa,

Uno de los requisitos mas importantes es que el grado del polinomio del denominador que debe ser siempre mayor que el grado del numerador.

En este método habrá 4 casos de los que hablaremos más adelante.

Desarrollo 

Para importancia de este método de integración debemos definir las fracciones parciales como función de F(x) en la que la función va a depender de un número y denominador, como habíamos dicho antes es importante recordar que el grado del denominador debe ser mayor al grado del numerador.

A continuación, se explicará una guía para saber cómo descomponer en fracciones parcial de [pic 5]

1. Si el grado de P(x) no es menor que el de Q(x) se deben dividir los polinomios para obtener la forma apropiada.

2. Expresar Q(x) como producto de factores lineales  o formas cuadráticas irreducibles ax2+bx+c y agrupar los factores repetidos para que Q(x) quede expresado por un producto de factores distintos de la forma (ax+b)m o bien (ax2+bx+c)n con m y n enteros no negativos.[pic 6]

3. Estos pasos se aplicarán según sea su caso.

• CASO I: Factores lineales distintos

En este caso se aplicará cuando el factor lineal esta de la forma ax + b, del denominador le va a corresponder una constante, y se le aumentara en número de contantes dependiendo de los factores que contenga el denominador.

Como nota en estas integrales que usen este caso su resultado será el logaritmo natural de cada uno de los factores

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• CASO II: Factores lineales repetidos

El número de los factores dependerá del grado del exponente del polinomio. A cada factor lineal ax +b que figure n veces en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma:

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• CASO III: Factores cuadráticos distintos

En este caso a cada factor le van a corresponder dos constantes, las cuales una será el coeficiente del término lineal. El denominador debe contener factores de segundo grado, pero ninguno de estos se debe repetir

A todo factor no repetido de segundo grado, como

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Le corresponderá una fracción parcial de la forma

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Por ejemplo

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Conclusiones

El método de integración por fracciones parciales es un método que nos va a permitir resolver integrales de funciones racionales que no se puedan resolver por los otros métodos.

En las fracciones racionales donde se usa este método es cuando el numerado es el que tiene un exponente menor y el denominador tiene el exponente mayor, y la fracción puede transformarse en una suma de fracciones parciales, en donde el denominador se debe factorizar.

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