Fuerza Cortante

Fuerza Cortante

Bachilleres:

González J M.

Fuerza cortante en vigas

Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna Vx en el corte que satisfaga la ecuación ΣFy=0. Esta fuerza interna Vx, actuando en ángulo recto respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es numéricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas externas que actúan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en dirección. Esta fuerza cortante puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de la página anterior o considerando el lado derecho

Momento flector en vigas

Las fuerzas internas axial y cortante en una sección de una viga, satisfacen sólo dos ecuaciones de equilibrio: ΣFx=0 y ΣFy=0. La condición restante de equilibrio estático para un problema plano es ΣM=0. Ésta, en general, puede sólo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento interno resistente dentro del área de la sección transversal de contrarrestar el momento causado por las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al momento externo para satisfacer la ecuación gobernante ΣM=0. Esos momentos tiene den a flexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores.

Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga, se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento flector se encuentra sumando los momentos causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus respectivos brazos. Las fuerzas internas Vx y Px así como los momentos aplicados deben incluirse en la suma. Para excluir los momentos causados por éstas últimas fuerzas conviene seleccionar el punto de intersección de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la sección transversal de la viga. El momento flector interno puede ser interpretado físicamente como compresión sobre las fibras superiores de la viga y tracción sobre las inferiores (esta es la definición de un momento positivo).

Relación entre la carga distribuida q, la fuerza cortante V, y el momento flexionante M en una viga.

Problema 170.

Demostrar los siguientes teoremas:

a) La derivada de la fuerza cortante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la intensidad de la carga distribuida: dV = q

dx

.b) La derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la fuerza cortante:

dM = V

dx

.c) La segunda derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la intensidad de la carga distribuida:

d2M = q

d2x

.Para las demostraciones analice el equilibrio del elemento de viga de longitud dx que se muestra en la siguiente figura:

Fuerzas internas en vigas

Son las fuerzas que se transmiten de particular a particular de un cuerpo. Se deben principalmente a las fuerzas externas y son responsables del rompimiento de un material. La distribución de la fuerza interna a través de una sección se llamo esfuerzo y si el esfuerzo sobrepasa la resistencia de un material este se romperá.

Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son principalmente perpendiculares aleje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte si las cargas no son perpendiculares se produce algo de fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño.

Formula de EULER

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica:

M = EI(d2y/dx2)

Ahora se sabe que este análisis es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior de la carga crítica.

Cuando una columna está sometida a una carga P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:

EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py

El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario al del reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y positiva, el momento sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos adoptado.

La ecuación anterior no se puede integrar directamente, como se hacía anteriormente ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo, presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:

M(d2x/dx2) = -kx

para lo cual una solución general es:

x = C1sen(t"(k/m)) + C2cos(t"(k/m))

de aquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por:

y = C1sen(x"(P/EI)) + C2cos(x"(P/EI))

DEFORMACIÓN DE VIGAS. MÉTODO DE LA DOBLEINTEGRACIÓN

Definición de flecha de una viga: la deformación de una viga se suele expresar en función de la flecha desde

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