Diagramas De Fuerza Cortante Y Momento Flexionante

DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLEXIONANTE

Al diseñar una viga, por lo general necesitamos saber cómo varían las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en toda su longitud. De importancia especial son los valores máximos y mínimos de estas cantidades. La información de este tipo se suele obtener de gráficas en las que la fuerza cortante y el momento flexionante están trazados como ordenadas, y la distancia x a lo largo del eje de la viga como abscisa. A estas gráficas se les denomina diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante.

Para tener una idea clara de estos diagramas, explicaremos con detalle cómo se elaboran e interpretan para tres condiciones básicas de carga: una sola carga concentrada, una carga uniforme y varias cargas concentradas.

Además, los ejemplos 4.4 y 4.7 al final de la sección proporcionan una ilustración detallada de las técnicas para manejar varios tipos de cargas, se incluye el caso de un par que actúa como una carga sobre una viga.

Carga concentrada

Comencemos con una viga simple AB que soporta una carga concentrada

P (figura 4.15a). La carga P actúa a una distancia a del apoyo izquierdo y a una distancia b del apoyo derecho. Considerando toda la viga como un cuerpo libre, con facilidad podemos determinar las reacciones de la viga a partir de su equilibrio; los resultados son:

Ahora cortamos la viga en una sección transversal a la izquierda de la carga P y a una distancia x del apoyo en A. Luego dibujamos un diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda de la viga (figura 4.15b). De las ecuaciones de equilibrio para este cuerpo libre obtenemos la fuerza cortante V y el momento flexionante M a una distancia x del apoyo:

Estas expresiones son válidas sólo para la parte de la viga a la izquierda de la carga P.

Enseguida cortamos a través de la viga a la derecha de la carga P (es decir, en la región a < x < L y de nuevo dibujamos un diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda de la viga (figura 4.15c). De las ecuaciones de equilibrio para este cuerpo libre obtenemos las siguientes expresiones para la fuerza cortante y el momento flexionante:

Observe que estas expresiones sólo son válidas para la parte derecha de la viga.

Las ecuaciones para las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes (ecuaciones 4.11 y 4.12) se indican debajo de los dibujos de la viga. La figura

4.15d es el diagrama de fuerza cortante y la figura 4.15e es el diagrama de momento flexionante.

En el primer diagrama observamos que la fuerza cortante en el extremo

A de la viga (x = 0) es igual a la reacción RA. Luego permanece constante hasta el punto de aplicación de la carga P. En ese punto la fuerza cortante disminuye abruptamente en una cantidad igual a la carga P. En la parte derecha de la viga la fuerza cortante de nuevo es constante pero numéricamente igual a la reacción en B.

Como se muestra en el segundo diagrama, el momento flexionante en la parte izquierda de la viga aumenta linealmente desde cero en el apoyo hasta Pab/L en la carga concentrada (x = a). En la parte derecha, el momento flexionante de nuevo es una función lineal de x, variando de Pab/L en x = a a cero en el apoyo (x = L). Por tanto, el momento flexionante máximo es

Y ocurre debajo de la carga concentrada.

Al deducir las expresiones para la fuerza cortante y el momento flexionante a la derecha de la carga P (ecuaciones 4.12a y b), consideramos el equilibrio de la parte izquierda de la viga (figura 4.15c). Las fuerzas RA y P actúan sobre este cuerpo libre además de V y M. En este ejemplo particular es un poco más simple considerar la parte derecha de la viga como un cuerpo libre, ya que entonces sólo aparece una fuerza (RB) en las ecuaciones de equilibrio (además de V y M). Por supuesto, los resultados finales no cambian.

Ahora se pueden observar ciertas características de los diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionante (figuras 4.15d y e). Primero observamos que la pendiente dV/dx del diagrama de la fuerza cortante es cero en las regiones 0 < x < a y a < x < L, lo que concuerda con la ecuación

dV/dx = – q (ecuación 4.4). Además, en estas mismas regiones la pendiente

dM/dx del diagrama del momento flexionante es igual a V (ecuación 4.6). A la izquierda de la carga P, la pendiente del diagrama de momento es igual a Pb/L; a la derecha, es negativa e igual a –Pa/L. Por tanto, en el punto de aplicación de la carga P hay un cambio abrupto en el diagrama de la fuerza cortante (igual a la magnitud de la carga P) y un cambio correspondiente en la pendiente del diagrama del momento flexionante.

Ahora considere el área del diagrama de la fuerza cortante. Conforme nos movemos de x = 0 a x = a, el área del diagrama de la fuerza cortante es (Pb/L)a, o Pab/L. Esta cantidad representa el incremento en el momento

flexionante entre estos mismos dos puntos (consulte la ecuación 4.7).

De x = a a x = L, el área del diagrama de la fuerza cortante es –Pab/L, lo que significa que en esta región el momento flexionante disminuye en esa cantidad. En consecuencia, el momento flexionante es cero en el extremo B de la viga, como se esperaba.

Si los momentos flexionantes en los dos extremos de una viga son cero, como es usual en el caso con una viga simple, entonces el área del diagrama de la fuerza cortante entre los extremos de la viga debe ser cero siempre que no actúen pares sobre la viga (consulte el análisis en la sección 4.4 después de la ecuación 4.7).

Como ya se mencionó, al diseñar vigas se necesitan los valores máximos y mínimos de las fuerzas cortantes y de los momentos flexionantes.

Para una viga simple con una sola carga concentrada,

...