FUERZAS Y MOMENTOS

CAPITULO 1

FUERZAS Y MOMENTOS

1.1 OPERACIONES CON VECTORES

PROBLEMA 1.1 ¿Será correcto afirmar que los dos sistemas mostrados son equivalentes?

Fig. 1.1

Solución:

Para que ambos sistemas, sean equivalentes, las fuerzas del sistema I debieron estar orientadas tal

como se muestra en la figura 1.2, que lo denominaremos como Sistema III, cuyo valor de la

resultante lo determinamos por la ley del paralelogramo.

R 7 24 25N 2 2

III   

Fig. 1.2

En consecuencia, los sistemas I y II no son equivalentes, a pesar que la resultante del sistema I tiene

la misma dirección y sentido que la fuerza única del sistema II.

PROBLEMA 1.2 Si P  76kN y Q  52kN, determine en forma analítica la resultante de P y Q

Fig. 1.3

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Solución:

Calculamos el ángulo que forma el vector P con la vertical y el ángulo que forma el vector Q con la

horizontal.

o 26,56

32

16

arctg  







 

o 26,56

24

12

arctg  







 

Fig. 1.4

De esta manera, el ángulo que forman los vectores P y Q es o   2.26,56  90 143,12 y la

resultante se calculará por la fórmula:

R P Q 2PQcos 76 52 2.76.52.cos143,12 46,45kN 2 2 2 2 o        

Para determinar el ángulo que forma la resultante con Q, aplicamos la ley de senos (figura 1.5):





sen

P

sen36,88

R

o

 o   79,09

El ángulo que formará la resultante con el eje horizontal será de o 52,53 .

Fig. 1.5

PROBLEMA 1.3 Para la estructura mostrada en la figura 1.6, se pide:

a) Descomponer la fuerza de 360 lb en componentes a lo largo de los cables AB y AC. Considerar

o   55 y o   30 .

b) Si los cables de soporte AB y AC están orientados de manera que las componentes de la fuerza

de 360 lb a lo largo de AB y AC son de 185 lb y 200 lb, respectivamente. Determinar los ángulos

 y  .

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Fig. 1.6

Solución:

a) Como la estructura debe de encontrarse en equilibrio, por lo tanto, aplicamos el triángulo de

fuerzas, mostrado en la figura 1.7

Fig. 1.7

Aplicamos la ley de senos y obtenemos los valores de las fuerzas en los cables AB y AC

0 0

AB

sen95

360

sen30

P

  P 180,69lb AB 

0 0

AC

sen95

360

sen55

P

  P 296,02lb AC 

b) Analizamos el triángulo de fuerzas, mostrado en la figura 1.8 y aplicamos la ley de senos para

determinar los ángulos  y 

Fig. 1.8

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



 sen

200

sen

185

 sen 1,08sen (a)

   



    sen

200

sen 180

360

o

 cos 1,08cos 1,944 (b)

Aplicamos en la ecuación (a) el principio que     2 sen 1 cos y     2 sen 1 cos ,

reemplazando luego cos de la ecuación (b) en la ecuación (a), obteniendo:

o   21,6

o  19,9

PROBLEMA 1.4 La longitud del vector posición r es de 2,40m (figura 1.9). Determine:

a) La representación rectangular del vector posición r

b) Los ángulos entre r y cada uno de los ejes coordenados positivos

Solución:

a) Descomponemos r en dos componentes como se muestra en la figura 1.10. Por trigonometría

obtenemos:

r r cos 40 2,4cos 40 1,84m o o

z   

r rsen40 2,4sen40 1,54m o o

xy   

En forma análoga, descomponemos xy r en x r y y r :

r r cos50 0,99m o

x xy  

r r sen50 1,18m o

y xy  

Por lo tanto, la representación rectangular de r es:

r r i r j r k 0,99i 1,18j 1,84k x y z      

Fig. 1.9

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Fig. 1.10

b) Los ángulos entre r y los ejes coordenados, los calculamos por las siguientes ecuaciones:

x o

x 65,6

2,4

0,99

arccos

r

r

arccos  











 







 

y o

y 60,5

2,4

1,18

arccos

r

r

arccos  











  





 





 

z o

z 40,0

2,4

1,84

arccos

r

r

arccos  











 







 

Dichos ángulos se muestran en la figura 1.11 y como se puede apreciar, no fue necesario

calcular z  , porque ya estaba dado en la figura 1.9

Fig. 1.11

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PROBLEMA 1.5 Encuentre la representación rectangular de la fuerza F cuya magnitud es de 240N

Fig. 1.12

Solución:

Como se conocen las coordenadas de los puntos O y A sobre la línea de acción de F, entonces

escribimos el vector OA (vector de O hasta A) en forma rectangular (figura 1.13), expresado en

metros:

OA  4i  5j 3k

Luego, el vector unitario de O hasta A será:

0,566i 0,707j 0,424k

( 4) 5 3

4i 5j 3k

OA

OA

2 2 2

   

  

  

  

Fig. 1.13

Asimismo, se tendrá:

F  240(0,566i  0,707j 0,424k)  135,84i 169,68j101,76k

Las componentes rectangulares de F se muestran en la figura 1.14

Fig. 1.14

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PROBLEMA 1.6 Dado los vectores:

A  6i  4j k (N)

B  j 3k (m)

C  2i  j 4k (m)

Determinar:

a) A.B

b) La componente ortogonal de B en la dirección de C

c) El ángulo entre A y C

d) AxB

e) Un vector unitario  perpendicular a A y B

f) AxB.C

Solución:

a) Aplicamos la siguiente ecuación, obteniendo:

A.B A B A B A B 6(0) 4(1) ( 1)(3) 1N.m x x y y z z        

El signo

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