Funciones

1. Función:

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

No estamos en presencia de una función cuando De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. Podemos imaginarnos la función como una maquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor. A veces esta "maquina" no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la "maquina" funciona) se llama DOMINIO DE DEFINICIÓN de la función.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama RECORRIDO de la función.

Ejemplo:

2. Funcion afin: es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: f(x) = m x + b \, donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

f(x) = m x \;

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

F(x) = m x + b \; cuando b es distinto de cero.

3. Dominio de función afin: El dominio corresponde al conjunto A de una función, es decir al conjunto que agrupa los valores de X, el condominio corresponde al conjunto B, es decir al conjunto que abarca los valores de Y; cada elemento del conjunto A se llama argumento y cada elemento del conjunto B se llama imagen; el dominio contiene los términos independientes de la función, el condominio se obtiene evaluando la función para cada valor de X.

Ejemplo:

El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

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4. Rango de función afín: Es el conjunto formado por las imágenes.

Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".

Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.

El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función. La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.

Una función consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.

Ejemplo:

• y = 7x + 1

• y = 7(2) + 1 = 15

• y = 7(4) + 1 = 29

• y = 7(6) + 1 = 43

El dominio D es {2, 4, 6} y el Rango R es {15, 29, 43}.

5. Grafica:

Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3, Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales.

Dom f(x) = R

El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre. Rango = (– ∞, + ∞)

6. Función cuadrática: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

• Así,ax2 es el término cuadrático

• bx es el término lineal

• c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

7. Dominio de función cuadrática: cuando graficas la función cuadrática es una curva en forma de parábola (hacia arriba o hacia abajo) mas o menos en forma de "domo’’.

El "Dominio" de la función es el espacio que ocupa la gráfica en el eje de las X (es decir, de izquierda a derecha en el eje horizontal); supongamos que la gráfica empieza en -3 y termina en 5 si solo tomas en cuenta el espacio que ocupa de izquierda a derecha sobre el eje de las X.(es decir, el dominio es desde -3 hasta 5) .

8. Rango de función cuadrática: El "Rango" de la función es exactamente lo mismo, solo que ahora es el espacio que ocupa en el eje de las Y (es decir, de abajo hacia arriba); supongamos que la gráfica empieza en sentido vertical en -8 y termina en 4, entonces ese es su rango (desde -8 hasta 4). al "rango" también se le llama "Contradominio".

9. Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:

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11.

12.

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:

x y = x2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:

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