Funciones

Funciones

Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro.

Por ejemplo:

• La función: “conjunto de las palabras” en el conjunto de las letras que a cada palabra le asigna su letra inicial.

• La función: “conjunto de ciudadanos de un país” en el conjunto de las huellas digitales que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su índice derecho.

• La función del conjunto de los reales en sí mismo que a cada real le asigna su cuadrado.

De una manera más formal tenemos:

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, notada:

f : A → B

es un subconjunto de A × B (una relación de A en B) que cumple:

Para todo elemento a ∈ A existe un único b ∈ B tal que la pareja (a, b) ∈ f .

Como es único el elemento b relacionado con a, escribimos f (a) = b.

Si f : A → B es una función,

A se llama el Dominio de f .

B se llama el Codominio de f .

{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f

o el Recorrido de f o la Imagen de f .

f : R → R definida por f (x) = 2x − 1.

Dom ˙f = R, Imagen de f = R.

2 g : R → R definida por g(x) = x2

.

Dom g = R, Imagen de g = [0,∞) .

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x).

En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.

En este caso se acostumbra simplemente a identificar la función con la expresión que define su efecto sobre la variable, suponiendo que el dominio él es subconjunto más grande de R en el que se puede definir la función y el codominio es R.

Ejemplos

Si f (x) = 2x – 1 Dom f = R−{3} ,

x – 3

Si g(x) = √2 − 5x Dom g = (−∞, 2/5 ]

Dominio

Ejemplo

Hallar el dominio de la función f (x) = ___4_______

x2 − 8x+7 .

x2 − 8x + 7 = 0

(x − 1)(x − 7) = 0

Dominio de f : R − {1, 7}.

Ejemplo

Para hallar el dominio de la función f (x) = √2x + 6, resolvemos la desigualdad

2x + 6 ≥ 0

2x ≥ −6

x ≥ −3

Dominio de f : [−3,∞).

Ejemplo

Hallar el dominio de la función: .

Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical.

Ejemplo

El denominador se hace cero cuando x = −5, así que el dominio de

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