Funciones

funcion exponencial

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

f: ℜ → ℜ x → f(x) = ax

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

aplicaciones

1. crecimiento poblacional

Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así sucesivamente.

solucion:

Si se supone que inicialmente, en el día cero hay 50 células y se hace una tabla, que tenga en cuenta las condiciones anotadas anteriormente, se tendrá:

Si se denota por f(t) el número de células que existen en el día ; la tabla parece sugerir una expresión general para f(t) , teniendo en cuenta que:

O sea que, utilizando razonamientos intuitivos, se tiene que una expresión para el crecimiento poblacional de estas células que viene dada por f(t)=(50)2elevadoat donde t es una variable que se mide en días.

La formula f(t)=(50)x2elet no es más que un modelo de crecimiento poblacional, que aporta una buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y cuando la población inicial sea muy grande. Hay que hacer notar, además, que el crecimiento poblacional es un proceso continuo y que por tanto no ocurre a intervalos unitarios de tiempos precisos, es decir, no es un proceso discreto.

Este tipo de crecimiento, ejemplificado anteriormente, se llama crecimiento exponencial.

Existen muchos casos de crecimiento exponencial, como por ejemplo la ganancia de dinero por interés compuesto.

2. Ganancia de dinero por interes compuesto

Supóngase, que se depositan $100.000 en una corporación de ahorro y vivienda al 6 por ciento de interés compuesto cada año.

solucion:

Lo que ocurre en los primeros años con el dinero ahorrado se escribe en la siguiente tabla:

Después de un año el banco añade intereses de a los $100.000 iniciales dando un total de $106.000. Se observa que, Durante el segundo año, los $106.000 ganan el 6% de interés y al final del año se tendrá:

Continuando de esta manera el capital, que se denotará por C(t) , crecerá a (100.000)x(1,06) al final del tercer año.

Por lo tanto, una expresión para el valor del capital depositado, después de t años, viene dada por C(t)=100.000x(1,06)elevadoat.

FUNCION LOGARITMICA.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log a elevado x, siendo "a" la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

aplicaciones

FUNCION CUADRATICA

La función real de variable real en la que la variable dependiente varía con el valor del cuadrado de la variable independiente se denomina función cuadrática. La expresión general de la función cuadrática es la siguiente:

y = f (x) = ax2 + bx + c

siendo a, b y c valores constantes, llamados coeficientes de la función.

Las funciones cuadráticas son continuas, y se representan gráficamente mediante parábolas. Así, una función cuadrática y = ax2 + bx + c se corresponde con la ecuación de una parábola donde las abscisas de los puntos de intersección de la misma sobre el eje horizontal son las soluciones de la ecuación que resulta de igualar a cero dicha función, es decir:

La media aritmética de estas dos abscisas proporciona el valor de la abscisa del vértice de la parábola:

v = -b/2a

La forma más sencilla de función cuadrática, y = ax2, es una parábola cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas, por lo que corresponde a una función simétrica con respecto al eje vertical.

aplicaciones:

1. En un juego de basquetbol se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcaza la pelota, medida desde el suelo en metros en funcion del tiempo medido en segundos se calcula mediante la siguiente funcion:

H(t)= -5talcuadrado + 20t

se requiere saber cual va a ser la altura maxima que va a alcanzar la pelota y el momento en que lo hace para poder verificar si el punto hecho para su equipo es valido o no ya que faltaban cuatro segundos para que terminara el partido.

solucion:

Para hallar la altura maxima que alcanza la pelota y el tiempo en que lo hace, se debe hallar el vertice.

se sabe que para hallar el vertice se necesita la formula: x=-b/2a

dejandonos llevar por la formula:

H(t)=-5talcuadrado+20t

a=-5

b=20

c=0

el calculo seria:

x=-20/2(-5)=-20/-10=2

x=2

ya encontramos la x ahora nos faltaria buscar el valor de y. para buscar el valor de y debemos sustituir el valor de x en la funcion:

f(2)=5(2)alcuadrado + 20(2)

=-20+40

=20

la altura maxima que alcanzó la pelota es de 20 metros a los 2 segundos de ser lanzada, por lo tanto el punto

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