Fundamentacion Levitron
Enviado por yhojan • 13 de Noviembre de 2012 • 1.304 Palabras (6 Páginas) • 753 Visitas
Simulaci´on num´erica de la din´amica de un “Levitr´on”
Alberto T. P´erez Izquierdo
Dpto. de Electr´onica y Electromagnetismo
Universidad de Sevilla
Agosto 2010
El “Levitr´on” es un juguete magn´etico que consiste en una peonza que
flota libremente en el aire por encima de una base formada por un bloque
de material imantado. La peonza est´a hecha, a su vez, de una cer´amica
magn´etica y se mantiene en el aire gracias a la repulsi´on del potente im´an
que contiene la base. El polo norte del im´an de la peonza apunta hacia el
polo norte del im´an de la base. Para conseguir que la peonza flote libremente
es necesario que su peso y velocidad de giro est´en finamente ajustados.
El giro de la peonza la convierte en una especie de gir´oscopo y tiene la
funci´on de mantenerla orientada en la direcci´on y sentido correctos para que
sea repelida por el im´an de la base. En ausencia de esta rotaci´on la peonza se
volcar´ıa, sometida al par de fuerzas del campo magn´etico de la base, y caer´ıa
atra´ıda por ´esta.
Aunque los principios f´ısicos sobre los que se fundamenta el juguete son
conocidos desde el siglo XIX s´olo el descubrimiento en el siglo XX de nuevos
materiales magn´eticos ha hecho posible la construcci´on del Levitr´on. Tanto
la peonza como la base son potentes imanes hechos de un material cer´amico
que no conduce la electricidad. Los imanes met´alicos usuales no valdr´ıan
para este prop´osito ya que las corrientes de Foucault originadas en el metal
frenar´ıan el giro y disipar´ıan la energ´ıa cin´etica de rotaci´on proporcionada
inicialmente.
Los detalles din´amicos del movimiento del Levitr´on son muy complejos. El
acoplamiento entre la fuerza magn´etica y la din´amica de rotaci´on de la peonza
da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que no pueden
resolverse anal´ıticamente. Algunos autores han abordado el problema de la
estabilidad del vuelo del Levitr´on mediante m´etodos propios de la teor´ıa de
sistemas din´amicos. El problema consiste en determinar bajo qu´e condiciones
es posible obtener un vuelo estable.
Tres son los elementos b´asicos que determinan la estabilidad del Levitr´on.
En primer lugar el campo magn´etico debe cumplir ciertas restricciones, sin las
cuales no hay un punto de equilibrio en el que la peonza pueda mantenerse.
En segundo lugar el peso de la peonza debe ser tal que equilibre la fuerza
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magn´etica en el punto adecuado. Una peonza m´as pesada que cierto valor no
puede ser sustentada por el campo magn´etico, mientras que una m´as ligera
sale volando sin control. El rango en el que el peso iguala la fuerza magn´etica
es bastante estrecho. Por ello el Levitr´on de juguete que se comercializa
normalmente tiene un juego de anillas de distinto peso que se pueden quitar
o a˜nadir a la peonza para ajustar su peso. Por ´ultimo el vuelo estable s´olo
se consigue si la velocidad de giro est´a entre dos valores extremos. Tanto si
la peonza gira a baja velocidad como si gira muy r´apido se sale del punto de
equilibrio. De nuevo el rango en el que se debe encontrar la velocidad de giro
es estrecho, lo que suele hacer dif´ıcil volar el levitr´on las primeras veces que
se intenta.
En este art´ıculo trato de explicar la f´ısica fundamental del levitr´on. Todo
lo que sigue est´a esencialmente tomado de los art´ıculos de Dullin y Easton [1],
Simon et al. [2] y Genta et al. [3]. No son ´estos art´ıculos f´aciles, especialmente
el primero, por lo que espero que mi trabajo ayude a la comprensi´on del
problema al lector interesado.
Utilizando el programa comercial Matlab he escrito un programa de ordenador
para resolver num´ericamente las ecuaciones que gobiernan el movimiento
del Levitr´on. Con ayuda de este programa he resuelto las ecuaciones en
varios casos ilustrativos.
Condici´on de equilibrio
El levitr´on est´a sometido a la fuerza de la gravedad y a la fuerza magn´etica.
Para modelar la fuerza magn´etica basta considerar al levitr´on como un dipolo
magn´etico. La fuerza total sobre el dipolo es:
F = −mgez + ∇(μ · B) (1)
donde m es la masa de la peonza, g la aceleraci´on de la gravedad, μ su
momento dipolar magn´etico, B el campo magn´etico creado por la base y
ez el vector unitario en la direcci´on vertical. Para que exista un punto de
equilibrio en la direcci´on vertical es necesario que se cumpla, en este punto,
la condici´on:
−mg + μ
dBz
dz
= 0 (2)
Dado que el campo decrece en valor absoluto a medida que nos alejamos
de la base, la condici´on de equilibrio s´olo puede cumplirse si el campo y el
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momento dipolar μ apuntan en sentidos contrarios. S´olo en ese caso la base
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