INTRODUCCION A LA LOGICA

INTRODUCCION A LA LOGICA ∗

Renato Lewin

Pontificia Universidad Cat´olica de Chile

I Parte – LOGICA PROPOSICIONAL Introducci´on

1 L´ogica

Cuando deseamos establecer una verdad, cuando queremos convencer a al- guien de que nuestra posici´on o nuestras ideas son las correctas, recurrimos a un razonamiento o presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia presentada con el prop´osito de demostrar algo es un argumento. Por supuesto hay buenos y malos argumentos, en t´erminos muy vagos, la l´ogica es la ciencia que trata de distinguir los buenos argumen- tos de los malos argumentos.

La vaguedad de la definici´on anterior estriba en que no hemos dicho qu´e entendemos por “buen argumento” o “mal argumento”, de hecho, ni siquiera hemos dicho en forma precisa qu´e es un argumento.

Un argumento es un conjunto de una o m´as oraciones. La u´ltima de ellas se denomina conclusion, las anteriores se llaman premisas.

Intuitivamente, las premisas son la evidencia o razones que nos deben con- vencer de la veracidad de la conclusi´on. El argumento es la concatenaci´on de las primeras con la u´ltima.

∗Estas Notas han sido preparadas para los cursos de L´ogica dictados para las Licen- ciaturas en Sociolog´ıa y en Filosof´ıa de la Pontificia Universidad Cat´olica de Chile.

Es habitual representar los argumentos haciendo un listado de las premisas y la conclusi´on, separando la u´ltima mediante una l´ınea.

Oraci´on 1

Oraci´on 2

. Conclusi´on





Premisas



¿Qu´e caracteriza a un “buen” argumento? No se trata aqu´ı de definir argu- mentos convincentes en el sentido de la ret´orica, sino aquellos que garanticen que sus conclusiones deben ser aceptadas cuando todas las premisas han sido aceptadas.

Un argumento es correcto si en toda situaci´on en la que sus premisas son verdaderas, su conclusi´on tambi´en lo es. En otras palabras, un argumento es correcto si no puede producir una conclusi´on falsa a partir de premisas

verdaderas. Si Γ

ϕ

, es un argumento correcto, decimos que ϕ es consecuencia

l´ogica de Γ.

Ni las premisas ni la conclusi´on tienen que ser verdaderas para que el argu- mento sea correcto. Es s´olo que si las premisas son verdaderas, tambi´en debe serlo la conclusi´on. Se puede por lo tanto tener conclusiones falsas usando argumentos correct´ısimos.

La l´ogica es el estudio de los argumentos correctos.

Ejemplos:

Todos los hombres son mortales.

1. S´ocrates es hombre.

Luego S´ocrates es mortal.

Si S´ocrates es hombre, entonces S´ocrates es mortal.

2. S´ocrates es hombre.

Luego S´ocrates es mortal.

Juan ir´a al cine o dormir´a.

3. Juan ir´a al cine.

Luego Juan no dormir´a.

Algunos hombres son mortales.

4. Algunos mortales son mam´ıferos.

Luego algunos hombres son mam´ıferos.

5. Tu´ ya no me quieres como antes.

6. Somos o no somos.

Ese perro ladra.

7. Ese perro no ladra.

Luego algunos hombres son mam´ıferos.

Los ejemplos 5 y 6 son un caso extremo de argumento en el que no hay premisas, s´olo conclusi´on. Los ejemplos 1, 2, 6 y 7 son argumentos correctos. El 6 es correcto simplemente porque su conclusi´on no puede ser falsa. De hecho, podemos agregar todas las premisas que queramos y el argumento seguir´a siendo correcto. El u´ltimo es correcto porque no es posible que las dos premisas sean verdaderas. Los ejemplos 1 y 2 los analizaremos m´as adelante.

La evidencia presentada por las premisas no es suficiente para afirmar la conclusi´on de los argumentos 3, 4 y 5. El argumento 3 es incorrecto porque obviamente Juan podr´ıa ir al cine y dormir all´ı. Para 4, si reemplazamos la palabra “mam´ıfero” por “cuadru´pedo”, vemos que el argumento obtenido es “el mismo” (ya volveremos sobre esto en la pr´oxima secci´on), si acepto uno como correcto, el otro tambi´en debe serlo. Sin embargo las premisas de la segunda version son verdaderas y la conclusi´on falsa. Debemos desechar este argumento por incorrecto. No es necesario hacer notar que 5 no es un argumento correcto, sin embargo, es uno de los m´as usados en la vida cotidiana.

1.1 Estructura L´ogica de los Argumentos

Intuitivamente, la correcci´on de un argumento depende m´as de la forma en que se relacionan las oraciones que los componen que del tema del que se est´a hablando, de tal manera que si alguien no conoce el significado de una palabra, igual debe poder determinar la correcci´on del argumento. Por ejemplo,

Todas las flores son rojas.

8. Esta margarita es una flor.

Luego esta margarita es roja.

es el “mismo” argumento que 1. en el sentido de tener la misma forma o estructura l´ogica. Si aceptamos la correcci´on del primero, debemos aceptar la del segundo, obs´ervese sin embargo, que en este caso la conclusi´on es falsa.

De alguna manera, el contenido de lo que se dice m´as bien oculta que esclarece esta estructura. Por ejemplo, consideremos

Todos los flum son pran.

9. Frafr´a es un flum.

Luego Frafr

es un pran.

Este es el mismo argumento que 1 y que 8 a pesar de que no sabemos sobre qu´e se est´a hablando. Demos un paso m´as y usemos s´olo variables:

10.

Todos los A son B. c es un A.

Luego c es un B.

El u´ltimo paso es escribir estas oraciones en el lenguaje de primer orden que aprendimos en algu´n curso de Algebra o Matem´atica Discreta. 1

∀x(A(x) → B(x) )

11.

A(c)

B(c)

1 El lector que no haya estudiado estos temas puede hacer caso omiso de esta

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