Introducción a la lógica Matemática

Introducción a la lógica Matemática

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

Una proposición lógica es un enunciado lingüístico que debe cumplir con la condición de ser susceptible de poder ser verdadero o falso.

Ejemplo

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas.

El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento.

La proposición del inciso s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll.

Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Representación de las Proposiciones

Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z , las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural.

Así, también se logra simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados, creando un lenguaje simbólico artificial, en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente o natural: Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones:

p : Hoy es sábado

q : Estudio filosofía

r : Colombia es el país con el mayor número de especies de aves del mundo

x : 4 + 3 = 10

Conectivos Lógicos

En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes:

Ejemplo

Las rosas son rojas y tienen espinas.

¿La selección Colombia ganó o perdió?

En el país no hay violencia.

Si estudio lógica matemática entonces podré determinar la validez de un razonamiento lógico.

4 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.

Para la formación de las oraciones del ejemplo anterior se utilizaron las expresiones especiales: y, o, no, si … entonces, sí y sólo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados; denominamos a éstas partículas o términos de enlace "nexos o conectivas", que establecen relaciones sintácticas como función de coordinación y subordinación determinadas entre las proposiciones que la integran; tal ocurre en la función de las conjunciones en las oraciones compuestas de la lengua.

Al igual que a las proposiciones, también les asignamos un lenguaje simbólico así:

Lenguaje Natural Lenguaje Artificial

y ∧

o ∨

no ¬

Si ……. entonces →

Si y sólo si ↔

Partiendo del ejemplo anterior, podemos hallar la notación simbólica de las expresiones planteadas:

Ejemplos:

Las rosas son rojas y tienen espinas.

p : Las rosas son rojas.

q : Las rosas tienen espinas.

p ∧ q

¿La selección Colombia ganó o perdió?

r: La selección Colombia ganó?

s: La selección Colombia perdió?

r ∨ s

En el país no hay violencia.

t : En el país hay violencia.

¬ t

Si estudio lógica matemática entonces podré determinar la validez de un razonamiento lógico

x : Estudio lógica matemática

y : Seré un destacado ingeniero de sistemas

x→y

4 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.

u : 4 es un número par

v : 4 es divisible por 2

u↔v

Clasificación de las proposiciones

En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atómicas o simples y moleculares o compuestas, veamos:

1) Proposiciones simples: Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lógicos.

Estos son algunos ejemplos:

p : El eclipse es un fenómeno natural

q : La luna es un satélite de la tierra

r : La UNA es una universidad abierta

s: -3 es el inverso aditivo de 3.

El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición. Recordemos que una proposición debe tener sentido completo, es decir debe ser posible asignarle un valor de verdad (es falsa o verdadera).

Ejemplos:

1 + 4 = 5

3 es número par

Medellín es la capital de Antioquia

2) Proposiciones Compuestas: Si se unen dos o más proposiciones simples, mediante términos de enlace, tales como no, y, o, si…entonces, se forman las proposiciones compuestas; el valor de verdad de dichas proposiciones es verdadero o falso, dependiendo sólo de los valores de verdad de las proposiciones simples que las conforman.

Ejemplos:

La igualdad de oportunidades conduce a la paz

Si un triángulo es isósceles, entonces es equilátero

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