Informe 10 péndulo simple

Péndulo Simple

Ángela Martínez, Jorge Núñez, Sofía Muñoz, Julián Fernández

Universidad Nacional de Colombia- Facultad de Ingeniería

 (Mayo 16, 2018)

1. INTRODUCCIÓN

Este informe estará enfocado al movimiento de un péndulo simple con pequeñas amplitudes. Para abordar la parte teórica se hablará de tres temas esencialmente: en qué consiste el péndulo simple, como se puede describir su movimiento según la segunda Ley de Newton y finalmente, el movimiento armónico simple para péndulos.

Para empezar, el péndulo es simple consiste en una masa puntual que está suspendida de manera vertical mediante una cuerda o hilo inextensible, del cual normalmente, se desprecia su masa. Se dice que el péndulo está en reposo si se encuentra en posición vertical, porque las fuerzas que actúan sobre él, que vienen siendo la tensión de la cuerda y el peso de la masa, se contrarrestan y, por lo tanto, permanece en equilibrio. Sin embargo, nuestro interés está en lo que ocurre cuando el péndulo se separa de la posición de equilibrio y comienza a oscilar alrededor de dicha posición. Para estudiar lo que ocurre, hay que estudiar las fuerzas que actúan sobre la masa durante su trayectoria. [pic 1]

Figura 1. Fuerzas péndulo simple

La figura 1 ilustra las fuerzas que actúan sobre la masa en algún punto cualquiera de su trayectoria. Para analizar las fuerzas, se toma un sistema de coordenadas fijo a la masa dado por los vectores

unitarios y, que son necesariamente perpendiculares, el primero mencionado apunta en dirección radial y el segundo en la dirección en la que el ángulo crece. Debido a que son perpendiculares, se pueden descomponer las fuerzas a lo largo de este sistema de coordenadas. Así se tiene que las fuerzas que actúan sobre la masa están dadas por:[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

                   EC. (1)

Las componentes son:

[pic 6]

   EC. (2)

[pic 7]

  EC. (3)

Cuando la masa se separa de la posición de equilibrio, la tensión contrarresta a la componente del peso que está en dirección a más no a la componente del peso en dirección de , es esta fuerza la causante de de que aparezca una aceleración que intenta devolver al péndulo a su posición de equilibrio, por eso podemos escribir que:[pic 8][pic 9]

[pic 10]

  EC. (4)

[pic 11]

  EC. (5)

En la sección (b) de la figura 1 se hace referencia a la longitud de arco ds recorrida en un tiempo dt, debido a que la amplitud que se estudia es dada por ángulos pequeños, tanto ds como dt tienen magnitudes pequeñas. La relación entre el ángulo y la longitud de arco es:

[pic 12]

 EC. (6)

Con la ecuación (6), se halla una igualdad para la velocidad y la aceleración de la siguiente manera:

[pic 13]

[pic 14]

 EC (7)

Uniendo la ecuación (6) y la ecuación (7)

[pic 15]

EC. (8)

Ahora, se reemplaza de la ecuación (8) en la ecuación (4) para la segunda ley de Newton en la dirección tangencial y se obtiene:[pic 16]

[pic 17]

EC. (9)

Finalmente, en cuanto a la teoría del movimiento del péndulo, se hablará del movimiento armónico simple (m.a.s) o también llamado, movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s). Se dice que un sistema tiene movimiento armónico simple cuando vibra bajo la acción de fuerzas restauradoras, estas fuerzas son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio. Para entender este tipo de movimiento hay que hablar del concepto de oscilación, un cuerpo oscila cuando se mueve de forma periódica alrededor a una posición de equilibrio gracias a las fuerzas restauradoras. La función coseno o seno describe matemáticamente el movimiento oscilatorio, por lo tanto, se puede escribir que:

[pic 18]

EC (10)

Donde w es la frecuencia angular (número de radianes por segundo), A es la amplitud del movimiento y  es la fase.[pic 19]

 Un péndulo simple se comporta como un oscilador armónico cuando oscila con amplitudes pequeñas, la fuerza restauradora en este caso, es la componente tangencial del peso. Para la práctica es fundamental hallar el periodo del péndulo, que corresponde al tiempo que tarda en completar una oscilación.

La amplitud y la fase dependen de cómo se haya empezado a mover el objeto. En particular, la ecuación que describe el m.a.s para el péndulo es:

[pic 20]

EC. (11)

De la frecuencia angular, se tiene que[pic 21]

[pic 22]

EC. (12)

Los ciclos que hace por segundo, o la frecuencia temporal se define como

[pic 23]

 EC. (13)

Y el periodo T viene dado por

[pic 24]

EC. (14)

Hasta aquí llega la parte teórica que tiene que ver con la mecánica. Adicionalmente, es necesario hablar un poco de la toma de datos para realizar un buen análisis experimental. En los resultados, se debe hacer un proceso de linealización, para tener una relación directamente proporcional entre el período y la longitud del péndulo. Se obtiene elevando los términos de la izquierda y la derecha al cuadrado de la ecuación (14)

[pic 25]

EC. (15)

El resultado al graficar la EC 15 es una recta. La pendiente de la recta es la constante de proporcionalidad b.

[pic 26]

EC. (16)

Para hallar la incertidumbre de b, se calcula una incertidumbre estadística debido a qué hay varias determinaciones de la misma pendiente.

[pic 27]

EC. (17)

En dado caso de tener que encontrar una diferencia porcentual para poder analizar más eficiente y profundamente los datos obtenidos con los datos teóricos, se tiene la ecuación:

[pic 28]

EC. (18)

1. RESUMEN

En informes anteriores se habló de la cinemática y dinámica para analizar el tipo de movimiento de algunos cuerpos, más recientemente se tocó el tema de la energía mecánica y el momento lineal para hablar de lo mismo.  En la práctica de hoy, correspondiente al péndulo simple, tomaremos ideas y conceptos vistos previamente como la sumatoria de fuerzas para la aplicación de la segunda ley de Newton en este tipo de movimiento. Como se había hecho antes, podríamos describir la trayectoria del péndulo basándonos en su energía cinética y potencial, sin embrago, en esta ocación lo haremos apoyándonos en el nuevo concepto introducido del movimiento armónico simple.

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