Informe de Longitud de Arco

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CARRERA:

 Ingeniería Industrial y de Sistemas

NÚMERO DE CUENTA:

201511058

INTEGRANTE:

Angie Nicolle Palacios

Vilma Sanchez

Yesenia

Nancy

CATEDRÁTICO: 

Ing. Edgar Duarte

ESPACIO PEDAGÓGICO

Calculo II

TIPO DE TRABAJO

Investigación

San Pedro Sula, Cortés, 24 de Junio de 2016

Contenido

INTRODUCCIÓN        1

Aspectos Históricos sobre la Longitud de Arco        2

Definición de Longitud de Curva        3

Definición de Diferencial de Longitud de Arco        4

Desarrollo de Ejemplos de Longitud de Arco        6

CONCLUSIONES        10

BIBLIOGRAFIA        11

INTRODUCCIÓN

Este texto trata sobre  la longitud de arco de una curva, que también es llamada rectificación de una curva, y este es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular.

Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. También se encontrara el tema de Definición de Diferencial de Longitud de Arco. En la misma habrá ejemplos de Longitud de Arco con respecto a “x” y con respecto a “y”           

Aspectos Históricos sobre la Longitud de Arco

En el estudio de las áreas y volúmenes, se emplearon las palabras “medida del área” y “medida del volumen” para indicar un número sin incluir alguna unidad de medición. Al estudiar la longitud de arco se empleara la palabra “longitud” en lugar de las palabras “medidas de longitud”. Así, la longitud de arco es un número sin unidades de medición. (Leithold, 1998; p.509)

A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que fuera posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. (Sucre, 2015; p.2)

Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. (Sucre, 2015; p.2)

Se le conoce también como: rectificación de una curva. Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor. (Beltrán. 2014; párr. 1)

En La Antigüedad a través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas.  (Beltrán. 2014; párr. 2)

Definición de Longitud de Curva

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. (García, 2011; párr. 1)

Formula General:

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La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el valor obtenido como aproximación de la longitud de C. (García, 2011; párr. 2)

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Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.  (García, 2011; párr. 3)

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Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2. (García, 2011; párr. 4)

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:    

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Definición de Diferencial de Longitud de Arco

La longitud de arco se define como la longitud a lo largo de una curva,

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Donde [pic 7] es un vector de desplazamiento diferencial a lo largo de una curva gama. Por ejemplo, para un círculo de radio r, la longitud del arco entre dos puntos con ángulos  [pic 8]y [pic 9] (medido en radianes) es simplemente

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