Longitud de arco

Longitud de arco.

Puede encontrarse mediante integración de línea. Es decir: si [pic 2]es la medida en grados de un arco, ([pic 3]/360) da el porcentaje del círculo completo ocupado por el arco. Entonces la longitud del arco es ([pic 4]/360) (2[pic 5]r) donde r es el radio del círculo.

[pic 6]

Figura. Arco de longitud.

Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono. (Para la distancia entre los extremos de cada segmento podemos usar la fórmula conocida de distancia.) Vamos a definir la longitud de una curva general aproximándola con un polígono y entonces tomando un límite cuando el número de segmentos del polígono aumenta, este proceso es bien conocido para el caso de la circunferencia, en el que la circunferencia es el límite de las longitudes de los polígonos inscritos.

Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la ecuación[pic 7], donde f es continua en[pic 8]. Obtenemos una aproximación poligonal a C dividiendo el intervalo [pic 9]en [pic 10]subintervalos con los extremos [pic 11]y todos de la misma longitud[pic 12]. Si[pic 13], entonces, el punto [pic 14]está en la curva C y el polígono con vértices[pic 15]. La longitud de L de C es aproximadamente igual a la longitud de este polígono y la aproximación es mejor cuando crece[pic 16]. Por lo anterior, definimos la longitud, L, de la curva C, cuya ecuación es [pic 17], [pic 18], como igual al límite de la suma de las longitudes de esos polígonos inscritos (si existe el límite):

[pic 19]

Observará que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece mucho al que empleamos al definir el área y el volumen. Dividimos la curva en un gran número de partes pequeñas. Luego calculamos las longitudes aproximadas de las partes pequeñas para después sumarlas. Por último sacamos el límite cuando [pic 20].

La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación anterior, no es muy cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el caso en que [pic 21]tenga una derivada continua. Una función así, se denomina función lisa o función suave, porque el cambio de [pic 22]origina una pequeña alteración de [pic 23].

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