Longitud de Arco

LONGITUD DE ARCO

Supongamos que una curva C se define mediante la función y=f(x) donde f es continua y a ≤ x ≤ b. Podemos obtener una aproximación poligonal a C dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremos  y de igual ancho a Δx.   entonces el punto  está sobre C, y el polígono con vértices  ilustrado en la figura 3, es una aproximación de C.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

La longitud L de C es aproximadamente la longitud de este polígono y la aproximación es mejor cuando se incrementa n, (Véase la figura 4, donde se ha ampliado el arco de la curva entre  Y se muestra las aproximaciones con valores sucesivamente más pequeños de Δx, por tanto, definimos la longitud L de la curva C con la ecuación y = f(x), a ≤ x ≤ b, como el límite de las longitudes de estos polígonos inscritos (si el límite existe ):[pic 6]

[pic 7]

FORMULA DE LA LONGITUD DE ARCO

Si f’ es continua sobre [a, b], entonces la longitud de la curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, es

[pic 8]

Si usamos la notación de Leibniz para derivadas, podemos expresar la fórmula de la longitud de arco como:

[pic 9]

EJEMPLO 1:

Halle la longitud del arco de la de parábola semicúbica  entre los puntos (1, 1) y (4,8)[pic 10]

[pic 11]

SOLUCIÓN: Para la mitad superior de la curva se tiene:

[pic 12]

Y, por tanto, la fórmula de longitud de arco da

[pic 13]

Si sustituimos u = 1+9/4x, entonces du = 9/4dx. Cuando x = 1, u = 13/4; cuando x=4, u = 10

Por tanto

[pic 14]

[pic 15]

EJEMPLO 2:

Encuentre la longitud del arco de la parábola  de (0, 0) a (1, 1).[pic 16]

SOLUCIÓN: Puesto que , se tiene dy/dx=2y, y la fórmula 4 da[pic 17]

[pic 18]

Hacemos la sustitución trigonométrica   que da  y .  Cuando y = 0, ; por tanto , ; cuando y = 1, , asi que , por ejemplo. Así, [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Puesto que tan a = 2, se tiene que sec^2a = 1+tan^2a =5, de modo que  y:[pic 29]

[pic 30]

EJEMPLO 2:

1. Plantee una integral para la longitud del arco de la hipérbola xy = 1 del punto (1,1) al punto (2, ½).

SOLUCIÓN:

Se tiene

[pic 31]

Y, por tanto, la longitud de arco es:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN:

Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno a una recta. Tal superficie es la frontera lateral de un sólido de revolución.

Se desea definir el área de una superficie de una superficie de revolución de tal manera que corresponda con nuestra intuición, si el área de la superficie es A, podemos imaginar que pintar la superficie requeriría la misma cantidad de pintura que una región plana con área A.

El área superficial lateral de un cilindro circular con radio r y altura h se toma como , porque puede imaginarse como si se cortara el cilindro para después desenrollarlo para obtener un rectángulo con dimensiones 2πrh y h.[pic 35]

**

De igual manera, podemos tomar un cono circular con base de radio r y de altura inclinada L, cortarlo a lo largo de la línea discontinua en la figura 2, y aplanarlo para formar un sector de un circulo con radio l y ángulo central . Sabemos que, en general, el área de un sector de un círculo con radio L y ángulo  es , por tanto, en este caso es:[pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

¿Qué hay acerca de las superficies de revolución más complicadas? Si se sigue la estrategia que se usó con la longitud de arco, podemos aproximar la curva original mediante un polígono. Cuando éste se hace girar en torno a un eje, crea una superficie más simple cuya área superficial se aproxima al área superficial real. La superficie de aproximación consta de varias bandas, cada una formada al hacer girar un segmento de recta en torno a un eje. Para hallar el área superficial, cada una de estas bandas puede ser considerada la porción de un cono circular, cómo se muestra en la figura 3. El área de la banda (o cono truncado) con una altura inclinada l y radios superior e inferior r1 y r2, respectivamente, se encuentra al restar las áreas de los dos conos:

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