Informe laboratorio

[pic 1]ESFERAS DE PAPEL COMO FRACTALES Y SU DIMENSIÓN

Díaz Mesa, M.C.

Estudiante Ingeniería Ambiental

camila.diaz@udea.edu.co

Parra Cuadros, M.

Estudiante Ingeniería Ambiental

mateo.parra@udea.edu.co

Escuela Ambiental, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia, 2014

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Resumen

En este trabajo se presenta la forma de calcular la dimensión fractal y la lagunaridad de siete esferas de papel periódico, cada una de ellas con tamaños diferentes, (cada una tiene la mitad del tamaño de la anterior), para esto fue necesario tomar las medidas de los diámetros y la masa de cada una de las esferas, llevar estos datos a una gráfica en papel log-log de la masa en función del diámetro, mediante una relación alométrica, interpretar la pendiente de la recta resultante y el intercepto con el eje Y. Esta pendiente se traduce como la dimensión fractal de las esferas de papel y su valor fue aproximadamente 2.4 y el intercepto con el eje es el logaritmo en base 10 de la lagunaridad. Por otra parte, se toman en cuenta otros factores de las esferas, se evalúan dos tipos de papel (bond y periódico) como la densidad y la variación de peso de las mismas, cuando están secas y cuando se sumergen en agua y se concluyó que la capacidad de absorción de agua de las esferas es independiente al tipo de material que se utilice, solamente tiene relación con la variación de peso.

Palabras claves: Fractal, dimensión fractal, lagunaridad, densidad, relación alométrica

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1. INTRODUCCIÓN Y MARCO TEÓRICO

La siguiente práctica trata sobre entender qué es un fractal y como calcular su dimensión en siete esferas de papel, tales esferas se obtienen de una hoja de papel periódico de dimensiones 70cm*50 cm y  la dimensión fractal se obtiene por medio de la expresión matemática:

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Donde D es el diámetro, k es la lagunaridad, m es la masa y d es la dimensión fractal, mediante la relación alométrica se llega a la siguiente expresión:

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(2)

La ecuación (2) es la empleada para hallar el valor de la dimensión fractal y la lagunaridad, donde la pendiente de la recta se traduce como la dimensión fractal de las esferas y la intercepción con el eje Y es el logaritmo en base 10 de la lagunaridad.

Un trabajo de este tipo se realiza con el objetivo de hacer uso de los instrumentos como el calibrador -también llamado pie de rey para conseguir la medida de los diámetros- y de la balanza para conocer la masa, asimismo aplicar conceptos como masa, densidad, diámetro y presentar los resultados con su respectiva incertidumbre, esta se halla aplicando conocimientos en estadística como media aritmética, desviación estándar y valor aceptado; empleados para hallar los errores aleatorios y los errores de escala. Además,  de expresar los resultados con el número de cifras significativas adecuado, para que los resultados sean los más precisos posibles.

Estos resultados se obtienen por medio de ecuaciones como:

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A través de esta expresión se puede hallar la incertidumbre de los errores de tipo aleatorio debido a que cada que se mide el diámetro de cada esfera el pie de rey marca un valor diferente, en la ecuación (3) n corresponde al número de diámetros que se tomaron de cada una de las esferas,  es el valor cada diámetro y  es el promedio de los diámetros, obtenido mediante la ecuación (4).[pic 7][pic 8]

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(4)

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(5)

Los datos utilizados en la realización de este trabajo se obtuvieron resolviendo la expresión (5), donde:  es la medida de cada uno de los diámetros de las esferas,  es la incertidumbre del instrumento, es decir del calibrador y  es el valor aceptado que se tomará como el diámetro promedio para cada esfera y su incertidumbre se calcula así:[pic 11][pic 12][pic 13]

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(6)

Es preferible hacer uso de la ecuación (6) debido a que la incertidumbre hallada es menor a la que arroja el instrumento, los valores serán más exactos. Finalmente,  los resultados vienen expresados de la siguiente forma:

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2. PROCEDIMIENTO

Para realizar esta práctica fue necesario usar:

1 hoja de papel periódico de 70cm*50cm

1 calibrador o pie de rey

2 hojas de papel bond

1 balanza digital

En primer lugar la hoja de papel periódico se cortó hasta obtener siete pedazos de ella, véase Figura 1 con estos pedazos se hacen las esferas, tratando de comprimirlas lo más que se pueda. Una vez realizadas las esferas se tomaron los diámetros de cada una y se midieron en tres lugares diferentes, luego se calculó el promedio de las medidas utilizando la ecuación (4) y se calculó la incertidumbre correspondiente mediante la expresión (3), información contenida en la Tabla 1 para que el diámetro sea lo más preciso posible. Este mismo procedimiento se hizo utilizando las ecuaciones (5) y (6) y los datos con los que se hizo el análisis en este trabajo son los contenidos en la Tabla 2 y los arrojados por las ecuaciones (5) y (6), ya que estos son más exactos y la incertidumbre es menor a la incertidumbre del instrumento (calibrador).

Figura 1. Forma de cortar la hoja de papel periódico de dimensiones 70cm * 50cm y los números en ella simplemente son para darle un orden a las esferas.

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Luego de esto se tomaron el valor de las masas de cada esfera en estado seco, y después se sumergen las esferas en un recipiente con agua y se tomó su masa, para que los datos obtenidos de las masas fueran calculados en las mismas condiciones se trabajó bajo el parámetro de sumergir las esferas 30 segundos y dejarlas escurrir sosteniéndolas con las manos hasta que intervalo de tiempo  entre dos gotas fuera de dos segundos, los datos obtenidos en esta parte del procedimiento están contenidos en la Tabla2.

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