Ingeniero

1. Usando el m´etodo de inducci´on probar las siguientes f´ormulas:

(i) Pn

j=1 j

2 =

n(n+1)(2n+1)

6

,

(ii) Pn

j=1 j

3 =



n(n+1)

2

2

,

(iii) n(n

2 + 5) es un m´ultiplo de 6,

(iv) 3

2n+2 + 26n+1 = 11 (m´ultiplo de 11). ˙

(v) n! > 2

n−1

, para n = 3, 4, . . .

(vi) 2! 4! · · ·(2n)! > ((n + 1)!)n

, para n = 2, 3, . . .

2. Dados a0, a1, . . . , an ∈ R tales que ai+1 = rai para i = 0, 1, . . . , n − 1 y r ∈ R

(progresi´on geom´etrica) se verifica

Xn

i=0

ai =

a0 − ran

1 − r

3. Demostrar las siguientes propiedades de n´umeros naturales:

(i) Si n, m ∈ N, entonces n + m ∈ N.

(ii) Si n, m ∈ N y n > m, entonces n − m ∈ N.

(iii) Si n, m ∈ N entonces nm ∈ N.

(iv) Todo n´umero natural es par o impar.

(v) No existe ning´un n´umero natural entre 1 y 2.

4. Decir si son ciertas o falsas cada una de las afirmaciones siguientes sobre n´umeros

reales:

(i) t

2 > 0 si t 6= 0;

(ii) x < y, z < w ⇒ x + z < y + w;

(iii) x < y, z < w ⇒ xz < yw;

(iv) x < y ⇔ −x > −y;

(v) x < y ⇔ 1

y <

1

x

;

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Universidad

de Murcia

Facultad de

Matem´aticas

(vi) x < y + ε, ∀ε > 0 ⇒ x ≤ y;

(vii) x

2 + y

2 = 0 ⇔ x = y = 0;

(viii) (x + y)

2 = 0 ⇔ x = y = 0;

(ix) ε > 0, x ≥ 0 ⇒ ∃n ∈ N :

x

m < ε ∀m ≥ n;

(x) x > 1, y > 0 ⇒ ∃n ∈ Z : x

n ≤ y < xn+1

.

5. Si a es racional y b es irracional, ¿es a + b necesariamente irracional?. Si a es

irracional y b es irracional, ¿es ab necesariamente irracional?. Probar que √

3,

√

6

y

√

12 son irracionales.

6. Demostrar que si x, y ∈ R, x < y entonces existe z ∈ R \ Q tal que x < z < y.

7. Resolver las siguientes inecuaciones en R

(i) |x − 1| < |x + 1|

(ii) a|x|+1

x < 1

(iii) x

3 − 2x

2 − x + 2 < 0

(iv) 1

x +

1

x−1 > 0

(v) x

2 > x

(vi) x

2 − 5x + 4 ≤ 0

(vii) 5 < |2x − 7| < 35

(viii) −12 ≥ |3x − 4|

(ix) |x + 1| + |x − 1| ≤ 4

...