Interpolación Tecnológico de Monterrey

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Tecnológico de Monterrey

Campus Puebla.

Métodos numéricos.

Luis Guillermo Domínguez Caraveo.

A01323922.

Manual de Interpolación.

Maestro: Luis Daniel Bravo.

6 de mayo de 2015.  

Interpolación.

En este manual se verá el tema de interpolación y sus pasos para realizar los diferentes métodos que existen de ésta. Mediante una explicación clara se podrá facilitar el entendimiento de interpolar, conociendo los conceptos y aplicarlos. Muchas veces se plantea un problema en el cual, se conoce una tabla de valores de una función desconocida, pero nos interesaría cambiarla por otra más fácil de manejar que verifique la tabla de dichos valores.

En la ingeniería, es común contar con un conjunto de datos (valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo. Sin embargo, en muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimación en puntos entre los valores discretos. Ejemplos:

• En la termodinámica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presión y el volumen específico a una temperatura particular.
• En los negocios se cuenta con información de número de piezas vendidas y la ganancia obtenida.
• En el inicio del estudio de la astronomía, a partir de observaciones periódicas, estableció las posiciones de los cuerpos celestes.

Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos empezando del conocimiento de un conjunto discreto de puntos, matemáticamente el problema de interpolación es que dado un conjunto de puntos en la gráfica de una función, se encontrará  una función interpelante cuya gráfica pase por uno o más puntos seleccionados.

En la actualidad, las calculadoras y las computadoras pueden calcular los valores de funciones trigonométricas y logarítmicas, por lo que ya no es necesario interpolar para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra función matemática como se hacía anteriormente.

Los métodos para encontrar una función polinomial que nos permita determinar el valor estimado en un punto son:

• Interpolación lineal.
• Interpolación cuadrática.
• Método de Lagrange.
• Método de Newton.

Un punto importante a aclarar es que la interpolación se lleva a cabo mediante  datos exactos, sacados de una función o de un comportamiento periódico o de cifras exactas o valores bien conocidos.

Interpolación lineal.

La interpolación lineal es uno de los métodos más simples. En general, en este método se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula:

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La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero en ciertos casos no muy precisa.

Pasos.

Sea una función dada en forma tabular.

1. Establecer el punto en el que se evaluará la función que se desea obtener.
2. Buscar en la tabla de valores dados entre qué intervalo se encuentra este dicho punto dentro de la función tabulada.
3. Aplicar la fórmula de interpolación lineal.
4. Después de despejar quedará una función lineal en términos de x.
5. Por último, se obtendrá la función de ese intervalo de puntos, la cual al sustituir el valor en el cual se desea evaluar, se encontrará la respuesta del problema.

Para aclarar y comprender como se aplica este método, se mostrará un ejemplo:

• ¿Cuál es el tiempo de ejecución con 10,000 datos de entrada?

(1000, 0.084), (2000, 0.635), (4000, 4.945), (8000, 39.3964), (16000, 314.733).

Solución:

        Observar en que intervalos de tiempo se encuentran esos 10,000 datos de entrada, en este caso la recta va de (8000, 39.3964) a (16000, 314.733).

        A partir de esta afirmación, ya se tiene todo para hacer la interpolación, sustituyendo los valores para encontrar la ecuación-

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Teniendo la ecuación lineal, evaluamos los en x = 10,000, obtenemos:

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Este resultado se puede verificar como correcto porque está entre los intervalos donde pasa la recta que se tomó, por lo cual, la ecuación para este conjunto de datos está resuelta.

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Interpolación cuadrática.

Después de observar y entender la interpolación lineal, se procederá a explicar un método mucho más preciso, pero que requiere más pasos que el anterior. La interpolación cuadrática se diferencia de la lineal por lo siguiente:

• Se requieren 3 puntos conocidos
• Se deben hallar 3 constantes

Sin embargo, parten prácticamente de la misma base (ecuación general de la recta). A continuación se presenta la fórmula para la interpolación cuadrática.

y= b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)

b0, b1 y b2 son constantes que se hallarán mediante fórmulas relacionadas con los puntos escogidos. Los subíndices en las x sólo indican el número de punto asignado por el operador.

b0=y0

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Ahora, se resolverá un ejemplo aplicado en la Termodinámica para hallar la entalpía a 400 °C con una presión constante de 4 Mega pascales. NOTA: Se omitirán unidades, facilitar el entendimiento del proceso, pero no olvidarse de ellas en cualquier problema que aplique.

1.- Al igual que en la interpolación lineal se debe contar con datos del experimento, fenómeno o medición.

2.- Ahora se escogerán 3 puntos. Arriba se señalan los puntos escogidos. En azul está el punto (x0, yo) en rojo el punto (x1, y1) y en verde el punto (x2, y2)

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