Introducción al Cálculo

Clase # 1

Unidad I. Introducción al Cálculo

Desigualdades.

Hasta el presente he estudiado en Matemáticas en las ecuaciones las Igualdades, ósea, hemos asumido en una ecuación que los términos del lado izquierdo de una ecuación son exactamente iguales a los términos del lado derecho.

Ejemplo: cuando hemos planteado que 3x - 5 = 2x + 3, hemos asumido que los términos 3x – 5 son exactamente igual a los términos 2x + 3.

En esta Unidad estudiaremos las Desigualdades en una ecuación.

El termino Desigualdad se utiliza para indicar que una cantidad es mayor a menor que otra.

Símbolos utilizados:

>: mayor que

≥: mayor o igual que

<: menor que

≤: menor o igual que

Nociones fundamentales:

• Se dice que una cantidad A, es mayor que otra B, cuando la diferencia entre A – B es positiva (>0).

Ejemplo. 4 es mayor que 3, porque:

                 4 – 3 = 1 (es positivo).

• Se dice que una cantidad A es menor que otra B, cuando la diferencia entra A – B es negativa:

Ejemplo: 3 es menor que 4, porque:

                  3 – 4 = - 1 (es negativo).

Propiedades de las Desigualdades:

1. Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, la desigualdad no varía:

Si: A > B    y sumamos C:                                        

     A + C > B + C

Ejemplo:  

Si: 4 >2   y sumamos 1

     4 + 1 > 2 +1

      5 > 3

Si: A > B   y retamos C:

     A – C > B – C

Ejemplo:

Si: 4 > 2   y retamos 1

     4 – 1 > 2 – 1

      3 > 1

1. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

Si: A > B     y multiplicamos por C (positivo):

     A x C > B x C

Ejemplo:

Si: 8 > 4      y multiplicamos por 2:

     8 x 2> 4x 2

     16 > 8

Si A > B       y dividimos por C (positivo)

 > [pic 1][pic 2]

Ejemplo:

Si: 8 > 4      y dividimos por 2:

 > [pic 3][pic 4]

4 > 2

1. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia.

Si A > B       y multiplicamos por – C

A x (-C) < B x (-C)                    

8 x (-2)      4 x (-2)

-16 < -8        

Si A > B        y dividimos por - C

[pic 5]

Si: 8> 4       y dividimos por – 2

 [pic 6][pic 7]

-4 < -2

1. Si cambia el orden de los miembros, cambia el signo:

Si A > B

    B < A

Ejemplo:

8 > 4

4 < 8

1. Si se invierten los dos miembros de una desigualdad, cambia el signo:

Si: A > B

      [pic 8][pic 9]

Ejemplo:

8 > 4

< [pic 10][pic 11]

Ejercicios:

3X + 5 > 2X + 7

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