Investigacion Sarahy

Teoría de conjuntos

. Instrumento matemático útil para la sistematización de nuestra forma de pensarPermite la capacidad de análisis y comprensión de interrelacionesTeoría de conjuntos

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos.

El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático

alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX

y más tarde reformulada por Zermelo.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida

de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas,

ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima

de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece

o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de

un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien

definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede

haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según

Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la

teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre

la definición que publicó Cantor.

Definición

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra

intuición o nuestro pensamiento.

Cualquier colección de objetos bien definidos, de tal manera que se pueda decir siempre si un objeto pertenece o no al conjunto al cual pertenecemosConjunto

Propiedades

Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto,

estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten

diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o

repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:

para definir a tal conjunto

http://probabilidadyestadistica01.blogspot.mx/2010/12/teoria-de-conjuntos.html

1) E : espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles.

2) A B : al menos uno de los eventos A ó B ocurre.

3) A B : ambos eventos ocurren

4) Ac : el evento A no ocurre.

OPERACIONES BASICAS

. UNIONEn la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación queresulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales.Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de losnúmeros pares positivos P y el conjunto de los número impares positivos I:P = {2, 4, 6, ...}I = {1, 3, 5, ...}N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.

. INTERSECCIONEn teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación queresulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados Cde números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D : P = {2, 4, 6, 8, 10,...}C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}D = {4, 16, 36, 64, ...}La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

http://www.slideshare.net/viryhanna/operaciones-basicas-de-conjuntos

http://www.slideshare.net/LidnyJoahana/teoria-de-conjuntos

Técnicas de conteo

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede

ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos

eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que

cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer

premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y

posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

n1 x n2 x n3

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se

admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es

decir, sea n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

n! = n (n -1 ) (n -2 )...3 x 2 x 1

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/tecnicas%20de%20conteo.pdf

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera

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