Juegos De Suma Cero

Juegos de suma cero con dos jugadores

Denominaremos a uno jugador fila y al otro jugador columna. El primero ha de elegir una de m estrategias y el jugador columna una de n estrategias. Se supondrá que si el primero elige i y el segundo j habrá una ganancia de aij para el primero y una pérdida de aij para el segundo.

Esto se conoce como juego de suma cero. Se podría decir que en un juego de suma cero con dos jugadores lo que gana uno proviene del otro sin posibilidad de cooperación entre ellos. Cuando uno gana el otro pierde la misma cantidad. Todo esto puede representarse mediante una matriz de ganancias del jugador fila:

Se dice que el juego tiene punto silla y a este número se le llama valor (v) del juego para el jugador fila. Una forma sencilla de determinar este punto es buscar un número de la matriz que sea el menor en su fila y el mayor en su columna.

Ejemplo: Supongamos que los dos grandes productores de agendas electrónicas se proponen sacar al mercado un modelo nuevo con teléfono móvil incorporado. Pueden establecer un convenio con cuatro de las compañías telefónicas y uno de los dos productores podría desarrollar una compañía telefónica propia. La matriz de ganancias seria:

Vemos que en −5 hay un punto silla y corresponde a la elección de Entfone por parte de la compañía CASIE y de Windtel por parte de la compañía PAM. Este es un punto de equilibrio en el que ninguno de los jugadores puede beneficiarse con un cambio unilateral de estrategia. En este caso el equilibrio se logra asumiendo CASIE una pérdida de 5 como mal menor y PAM una ganancia segura de 5.

La siguiente tabla no tendría punto silla:

Este tipo de problema ha de resolverse por otros medios.

Juegos de suma cero para dos jugadores con estrategias aleatorizadas

Se analizarán ahora aquellos juegos que no tienen punto silla, que de hecho son mucho más frecuentes en la práctica. Para ello supongamos que dos personas van a jugar a pares o impares solamente con la posibilidad de sacar uno o dos dedos cada uno. Si la suma de ambos es par el jugador A pagara un euro al jugador B. En caso contrario sería B el que pague a A.

Por tanto la matriz de beneficios se puede expresar de la forma siguiente:

No hay punto silla. Eso significa que para cualquier decisión de estrategias hay un jugador que puede beneficiarse cambiando de estrategia unilateralmente. Si por ejemplo los dos sacan dos dedos el resultado sería par y ganaría B. Pero al cambiar A de estrategia pasaría a ganar A y por tanto a perder B.

Se determinarán ahora estrategias ´optimas y el valor de este juego. Para ello se amplía el conjunto de estrategias posibles. Hasta ahora se ha supuesto que cada vez que un jugador participa en un juego utilizará la misma estrategia. Ahora se permitirá que un jugador opte por una

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