LAS TRES LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE SATÉLITES

LAS TRES LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE SATÉLITES

Daniela Bautista Garcia1, Jesús Posadas Arévalo2, Fernanda Bautista Garcia3, Ricardo Rodríguez Cabanzo 4

1 Tecnológico Nacional de México. Instituto Tecnológico de Puebla. Av. Tecnológico núm.. 420 Col. Maravillas Puebla. araceli.rosas.paleta26@gmail.com

RESUMEN.

Johannes Kepler fue un científico alemán, que nació en el año 1571 y murió el 15 de noviembre de 1630, él fue el que formuló las 3 leyes que describen los movimientos de los planetas y los movimientos de la tierra. En las 3 leyes, Kepler se basó en observaciones de las distintas posiciones de los planetas y colaboró con el astrónomo Tycho Brahe. En el siguiente trabajo vamos a considerar las maravillas de las tres leyes de Kepler que tuvieron un gran desarrollo a lo que corresponde con la captación del universo, estas teorías permitieron la evolución del conocimiento del hombre al más allá de nuestra atmosfera. Las tres Leyes de Kepler, son un sistema de teorías que nos describen el movimiento de los planetas alrededor de el sol. Es un sistema de cuerpos celestes los cuales mantienen un movimiento dentro de su órbita, estas tres teorías son el producto de un trabajo en equipo entre Johannes Kepler y Tycho Brahe.

INTRODUCCIÓN

Este trabajo de investigación está orientado en el análisis y el estudio de diferentes fórmulas y conceptos del movimiento de satélites, las tres leyes de Kepler y el movimiento de los planetas, los cuales son temas muy importantes e interesantes en el estudio de la física. Se desarrolló está investigación con la finalidad de poder resolver sin ningún problema los diferentes problemas planteados sobre estos temas, ya que estas leyes se pueden aplicar en cada ejercicio con cada uno de los conocimientos adquiridos y de esta forma conseguir los resultados correctos de los mismos.

MARCO TEORICO

Gravitación y el movimiento de los planetas

Desde la Antigüedad los filósofos, matemáticos y astrónomos griegos trataron de explicar el movimiento de los planetas y el de las estrellas mediante el análisis de diferentes puntos de vista, después de esto se desarrollaron dos modelos que describen el movimiento de los planetas y el de las estrellas. Estos modelos son el sistema geocéntrico y sistema heliocéntrico:

Modelo de Sistema geocéntrico:

Los principales autores que defendieron este modelo fueron los filósofos griegos, Ptolomeo, Aristóteles, y Platón. Este modelo nos dice que el planeta Tierra se encontraba en el centro del Universo y que alrededor de este se movían todos los demás planetas y astros.

[pic 1]

Modelo de Sistema heliocéntrico:

En el siglo XVII Galileo se convirtió en el principal promotor de esta teoría, ya que él se basó en los trabajos realizados por Nicolás Copérnico. Este modelo nos dice que el sol está en el centro del universo y que alrededor de el se encuentran rotando el planeta Tierra y los demás astros.

[pic 2]

Los dos modelos estaban basados en la idea de que los cuerpos celestes se movían según un movimiento circular uniforme. Pero para poder explicar estas observaciones desde la tierra ellos debían hacer complicadas sumas de trayectorias circulares como epiciclos.

 LAS TRES LEYES DE KEPLER

Las tres leyes de Kepler fueron creadas para poder explicar el movimiento de los planetas alrededor del sol con un modelo matemático establecido, estas leyes pueden ser consideradas como las precursoras de la Ley Gravitacional de Issac Newton.

PRIMERA LEY DE KEPLER: LA LEY DE LAS ÓRBITAS

La primera ley es conocida como la ley de las órbitas, y esta acaba con la idea de Copérnico, de que las órbitas debían de ser circulares. Los planetas giran alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se sitúa en uno de los focos de la elipse.

[pic 3]

La excentricidad de una elipse es una medida de lo alejado que se encuentran los focos del centro. Su valor es:

[pic 4]

Pues bien, la mayoría de las órbitas planetarias tienen un valor muy pequeño de excentricidad, es decir que e = 0. Esto significa que, a nivel práctico pueden considerarse círculos descentrados.

SEGUNDA LEY DE KEPLER: LA LEY DE LAS ÁREAS

La segunda ley es conocida como ley de las áreas, está nos da información sobre la velocidad a la que se desplaza el planeta o los planetas.

La recta que une el planeta con el Sol son áreas iguales en tiempos iguales. Para que esto sea cumplido, la velocidad del planeta debe aumentar a medida que se acerque al Sol. Esto siguiere la presencia de una fuerza que permite al Sol atraer los planetas, tal y como lo descubrió Issac Newton.

[pic 5]

La velocidad areolar

Se define a la velocidad areolar como vA y es el área barrida por el vector de posición de un cuerpo por la unidad de tiempo. Según la segunda ley de Kepler la vA es una constante. Por lo tanto:

[pic 6]

El diferencial de tiempo es dt, el planeta se desplaza d ⃗r=⃗v ∗dt Ya que se trata de un diferencial que podemos considerar que d ⃗r es una línea recta. entonces, los vectores ⃗r y d ⃗r determinan un paralelogramo donde el área es el doble que el de dA.

[pic 7]

El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que lo forman. Y nos queda de la siguiente manera:

[pic 8]

La segunda ley de Kepler dice que la velocidad areolar (vA) permanece constante a lo largo del recorrido del planeta y nos queda de la siguiente forma:

[pic 9]

Donde:

 ∙ r1 y r2: Son módulos de los vectores de posición del planeta en los puntos 1 y 2. Su unidad de medida es el metro (m)

 ∙ v1 y v2: Son módulos de los vectores de velocidad del planeta en los puntos 1 y 2. Su unidad de medida es el metro por segundo ( m/s)

 ∙ θ1 y θ2: son ángulos que forman los vectores de posición de los planetas con los de velocidad en los puntos 1 y 2. Su unidad de medida es el radián ( rad )

La velocidad areolar (VA) permanece constante en todo el recorrido, para que se cumpla la segunda ley de Kepler la velocidad instantánea del planeta debe cambiar según el punto de su trayectoria en el que se encuentre.

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