La Derivada Compleja

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DEFINICIONES SEMANA 3

(Video Estándar)

Estimados estudiantes, bienvenidos al curso “Series y transformadas”. Me gustaría hacerles una pregunta: ¿Qué es una derivada de una función compleja?

La Derivada Compleja

Dada una función de variable compleja f(z), la derivada en zo, f´(zo) , se define de la siguiente manera, siempre y cuando existan los limites indicados.

Esta expresión es similar a la expresión de la derivada en funciones de variable real.

Para poseer una derivada en un punto dado, la función de variable compleja ha de ser continua en dicho punto, pero el solo hecho de ser continua no basta para garantizar la existencia de la derivada.

Regla de Diferenciación

𝑓𝑓´(𝑧0

) = lim

𝛥𝛥𝑧→0

𝑓𝑓(𝑧0+𝛥𝛥𝑧)−𝑓𝑓(𝑧0)

𝛥𝛥𝑧

Sean f(z), g(z) y h(z) funciones de z, y c una constante, entonces se cumplen las siguientes reglas de derivación:

Derivada de la adición o sustracción.

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Derivada de una constante c por una función.

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Derivada de un producto

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Derivada de un cociente, siempre que g(z) ≠ 0

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Regla de la cadena

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Derivadas de Funciones Elementales

Al igual que en las funciones de variable real, las derivadas de funciones elementales de una variable compleja se definen de manera similar. A continuación, se muestran las derivadas de funciones elementales complejas:

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A continuación, se resuelve un ejemplo en donde se calcula la derivada de una función de variable compleja.

Ejemplo 1: Sea f(z) = z2 una función de variable compleja. Calcular la derivada de una función usando la definición.

𝑑

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𝑑𝑧

(𝑧2) = lim

𝛥𝛥𝑧→0

𝑧2+2𝑧𝛥𝛥𝑧+(𝛥𝛥𝑧)2−𝑧2

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𝛥𝛥𝑧

= lim (2𝑧 + 𝛥𝛥𝑧) = 2𝑧

𝛥𝛥𝑧→0

Para llegar al mismo resultado como en la expresión anterior, existe un camino más corto.

Esto se logra cuando se hace uso de las conocidas fórmulas de diferenciación. Los nombres comunes son: reglas algebraicas, trigonométricas, inversas, entre otras.

Ejemplo 2: Obtenga la derivada de la siguiente función

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Propiedades de las derivadas

Sean f(z) y g(z) dos funciones analíticas de la variable compleja: z= x+iy, y sea c una constante, entonces son válidas las reglas de diferenciación para estas funciones y están dadas por:

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Ejemplos

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Teorema (Cauchy-Riemann)

Una función compleja 𝑓𝑓(𝑥 + 𝑖𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥 + 𝑖𝑖𝑦) + 𝑖𝑖𝑣(𝑥 + 𝑖𝑖𝑦) es derivable (como función compleja) si y solamente si 𝑓𝑓(𝑥, 𝑦) = �𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)� es derivable como función de R2 en R2 y sus derivadas parciales satisfacen:

...